(2 pontos) Seja . Calcule os limites laterais desta função em e verifique se a função tem limite em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa calcular os limites laterais dela quando se aproxima de 0. Depois disso, vamos ver se a função tem um limite geral em . Para isso, vamos usar o conceito de limites laterais, que são os limites quando nos aproximamos do ponto por valores menores que zero (limite à esquerda) e por valores maiores que zero (limite à direita).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . A função valor absoluto sempre dá um número positivo ou zero. Então, vai depender se é positivo ou negativo.

Passo 3

Vamos calcular o limite à direita, ou seja, quando se aproxima de 0 vindo dos números positivos ( ):
  • Para , . Então, .
  • Portanto, .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite à esquerda, quando se aproxima de 0 vindo dos números negativos ( ):
  • Para , . Então, .
  • Portanto, .

Passo 5

Finalmente, para verificar se a função tem um limite em , precisamos ver se os dois limites laterais são iguais. Aqui, o limite à direita é 1 e o limite à esquerda é -1. Como eles são diferentes, a função não tem um limite geral em .

Resposta

Os limites laterais são e . Como esses limites são diferentes, a função não possui limite em .

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Determine se o conjunto dado é ou não: (a) aberto, (b) conexo por caminhos e © simplesmente conexo.
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