Determine se o conjunto dado é ou não: (i.) aberto, (ii.)conexo e (iii.)simplesmente conexo.
d.

Passo 1

Vamos primeiro entender o que o exercício está pedindo. Queremos saber se o conjunto é aberto, conexo e simplesmente conexo. Estamos lidando com conceitos de topologia, que é uma parte da matemática que estuda as propriedades dos espaços que são preservadas sob deformações contínuas. Para resolver isso, precisaremos revisar o que significa um conjunto ser aberto, conexo e simplesmente conexo.

Passo 2

Para ver se o conjunto é aberto, precisamos lembrar que um conjunto é considerado aberto se, para cada ponto do conjunto, existe uma pequena “bolha” ao redor desse ponto que ainda está contida no conjunto. No nosso caso, o conjunto representa todos os pontos no plano, exceto aqueles em que (ou seja, a linha vertical onde ).
Escolha um ponto qualquer em , por exemplo, . Se desenharmos uma bolha ao redor desse ponto, por menor que seja, todos os pontos dentro dessa bolha ainda terão a coordenada . Podemos fazer isso para qualquer ponto que escolhermos em . Assim, concluímos que o conjunto é aberto.

Passo 3

Agora, vamos verificar se o conjunto é conexo. Um conjunto é conexo se não pode ser dividido em duas partes separadas que não se tocam. Observe que no conjunto , temos toda a área esquerda da linha (onde ) e toda a área à direita da linha (onde ). Esses dois lados não se encontram, pois a linha está excluída do conjunto. Isso significa que podemos separar em duas partes distintas, concluindo que o conjunto não é conexo.

Passo 4

Por último, vamos checar se o conjunto é simplesmente conexo. Um conjunto é simplesmente conexo se, além de ser conexo, qualquer laço (ou ciclo) dentro do conjunto pode ser contraído a um ponto sem sair do conjunto. Como já vimos que o conjunto não é conexo (ele tem duas partes separadas), ele não pode ser simplesmente conexo. Para ser simplesmente conexo, um conjunto deve ser conexo primeiro.

Resposta

Portanto, o conjunto é aberto, não conexo e não simplesmente conexo.

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