Determine se o conjunto dado é ou não: (i.) aberto, (ii.)conexo e (iii.)simplesmente conexo.
d.
d.
Passo 1
Vamos primeiro entender o que o exercício está pedindo. Queremos saber se o conjunto
é aberto, conexo e simplesmente conexo. Estamos lidando com conceitos de topologia, que é uma parte da matemática que estuda as propriedades dos espaços que são preservadas sob deformações contínuas. Para resolver isso, precisaremos revisar o que significa um conjunto ser aberto, conexo e simplesmente conexo.
Passo 2
Para ver se o conjunto é aberto, precisamos lembrar que um conjunto é considerado aberto se, para cada ponto do conjunto, existe uma pequena “bolha” ao redor desse ponto que ainda está contida no conjunto. No nosso caso, o conjunto
representa todos os pontos no plano, exceto aqueles em que
(ou seja, a linha vertical onde
).
Escolha um ponto qualquer em
, por exemplo,
. Se desenharmos uma bolha ao redor desse ponto, por menor que seja, todos os pontos dentro dessa bolha ainda terão a coordenada
. Podemos fazer isso para qualquer ponto que escolhermos em
. Assim, concluímos que o conjunto
é aberto.
Passo 3
Agora, vamos verificar se o conjunto é conexo. Um conjunto é conexo se não pode ser dividido em duas partes separadas que não se tocam. Observe que no conjunto
, temos toda a área esquerda da linha
(onde
) e toda a área à direita da linha
(onde
). Esses dois lados não se encontram, pois a linha
está excluída do conjunto. Isso significa que podemos separar
em duas partes distintas, concluindo que o conjunto
não é conexo.
Passo 4
Por último, vamos checar se o conjunto é simplesmente conexo. Um conjunto é simplesmente conexo se, além de ser conexo, qualquer laço (ou ciclo) dentro do conjunto pode ser contraído a um ponto sem sair do conjunto. Como já vimos que o conjunto
não é conexo (ele tem duas partes separadas), ele não pode ser simplesmente conexo. Para ser simplesmente conexo, um conjunto deve ser conexo primeiro.
Resposta
Portanto, o conjunto
é aberto, não conexo e não simplesmente conexo.
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.
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.
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, com