Um retângulo tem um perímetro de 20 m. Expresse a área do retângulo como uma função do comprimento de um de seus lados. Resp: A(x)=10 x-x^2, com 0 <= x <= 10

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um retângulo com um perímetro de 20 m. O objetivo é expressar a área desse retângulo como uma função do comprimento de um de seus lados. Para isso, precisamos entender algumas propriedades de retângulos e as fórmulas que usamos. Vamos precisar da fórmula do perímetro e da área de um retângulo. O perímetro ( P) é dado por P = 2(l + w), onde l é o comprimento e w é a largura. A área ( A) é dada por A = l cdot w.

Passo 2

Sabemos que o perímetro é 20 m, então podemos montar a equação do perímetro:
P = 2(l + w) = 20
Dividindo ambos os lados por 2, chegamos a:
l + w = 10
Esse resultado nos dá uma relação entre o comprimento e a largura do retângulo. Agora, vamos expressar a largura ( w) em função do comprimento ( l):
w = 10 - l
Agora, como queremos expressar a área em função de um dos lados, vamos considerar o comprimento como x, ou seja, l = x. Então a largura fica:
w = 10 - x

Passo 3

Agora que temos a largura em função do comprimento, podemos calcular a área ( A) do retângulo. Como sabemos que A = l cdot w, substituímos os valores:
A = x cdot (10 - x)
Esse produto irá nos dar a função da área em termos de x:
A(x) = 10x - x^2
E essa é a forma que queríamos! Além disso, como a largura não pode ser negativa, sabemos que o comprimento deve estar no intervalo de 0 a 10 m (ou seja, 0 <= x <= 10).

Resposta

A área do retângulo como uma função do comprimento de um de seus lados é:
A(x) = 10x - x^2 com 0 <= x <= 10

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