Determine um intervalo no qual a solução do problema de valor inicial dado certamente existe.
.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos apresenta um problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A equação que precisamos analisar é
com a condição inicial
. Para resolver isso, vamos precisar identificar onde a função e suas derivadas são contínuas. Isso nos irá ajudar a encontrar o intervalo onde a solução existe.
Passo 2
Primeiro, precisamos reescrever a equação diferencial em sua forma padrão. O que isso significa? É que devemos deixar
isolado. Para isso, vamos dividir toda a equação pelo coeficiente que multiplica
, que é
, desde que ele seja diferente de zero.
A equação se torna:
Agora, para que essa expressão esteja bem definida, o denominador
não pode ser zero. Vamos descobrir em quais valores de
isso acontece.
Passo 3
Igualamos o denominador a zero:
Esses pontos
e
são os valores onde a função não estará definida, porque o denominador se anula. Então, temos que evitar esses valores.
Passo 4
Agora, a próxima coisa que precisamos fazer é determinar os intervalos onde a solução do problema é válida. Os pontos extremos que encontramos nos dividem a linha real em três intervalos:
Passo 5
Só que, como temos uma condição inicial
, precisamos verificar em qual desses intervalos essa condição se encaixa. O valor
está no intervalo
. Portanto, para o ponto
, a solução existe neste intervalo.
Resposta
A solução do problema de valor inicial certamente existe no intervalo
.