Determine um intervalo no qual a solução do problema de valor inicial dado certamente existe. .

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos apresenta um problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A equação que precisamos analisar é com a condição inicial . Para resolver isso, vamos precisar identificar onde a função e suas derivadas são contínuas. Isso nos irá ajudar a encontrar o intervalo onde a solução existe.

Passo 2

Primeiro, precisamos reescrever a equação diferencial em sua forma padrão. O que isso significa? É que devemos deixar isolado. Para isso, vamos dividir toda a equação pelo coeficiente que multiplica , que é , desde que ele seja diferente de zero.
A equação se torna:
Agora, para que essa expressão esteja bem definida, o denominador não pode ser zero. Vamos descobrir em quais valores de isso acontece.

Passo 3

Igualamos o denominador a zero:
Esses pontos e são os valores onde a função não estará definida, porque o denominador se anula. Então, temos que evitar esses valores.

Passo 4

Agora, a próxima coisa que precisamos fazer é determinar os intervalos onde a solução do problema é válida. Os pontos extremos que encontramos nos dividem a linha real em três intervalos:

Passo 5

Só que, como temos uma condição inicial , precisamos verificar em qual desses intervalos essa condição se encaixa. O valor está no intervalo . Portanto, para o ponto , a solução existe neste intervalo.

Resposta

A solução do problema de valor inicial certamente existe no intervalo .

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no sentido inicial do vôo
Obtenha a solução geral das seguintes equações diferenciais: .
Determine se o conjunto dado é ou não: (i.) aberto, (ii.)conexo e (iii.)simplesmente conexo.
d.
Seja um campo escalar e um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar. .