Determine um intervalo no qual a solução do problema de valor inicial dado certamente existe. (4-t^2) y^prime+2 t y=3 t^2, y(-3)=1.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos apresenta um problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A equação que precisamos analisar é (4-t^2) y^prime+2 t y=3 t^2 com a condição inicial y(-3)=1. Para resolver isso, vamos precisar identificar onde a função e suas derivadas são contínuas. Isso nos irá ajudar a encontrar o intervalo onde a solução existe.

Passo 2

Primeiro, precisamos reescrever a equação diferencial em sua forma padrão. O que isso significa? É que devemos deixar y' isolado. Para isso, vamos dividir toda a equação pelo coeficiente que multiplica y', que é (4-t^2), desde que ele seja diferente de zero.
A equação se torna:
y' = 3 t^2 - 2 t y4 - t^2
Agora, para que essa expressão esteja bem definida, o denominador 4 - t^2 não pode ser zero. Vamos descobrir em quais valores de t isso acontece.

Passo 3

Igualamos o denominador a zero:
4 - t^2 = 0 implies t^2 = 4 implies t = 2 ou t = -2
Esses pontos t = -2 e t = 2 são os valores onde a função não estará definida, porque o denominador se anula. Então, temos que evitar esses valores.

Passo 4

Agora, a próxima coisa que precisamos fazer é determinar os intervalos onde a solução do problema é válida. Os pontos extremos que encontramos nos dividem a linha real em três intervalos:
  1. (-infty, -2)
  2. (-2, 2)
  3. (2, infty)

Passo 5

Só que, como temos uma condição inicial y(-3)=1, precisamos verificar em qual desses intervalos essa condição se encaixa. O valor -3 está no intervalo (-infty, -2). Portanto, para o ponto t = -3, a solução existe neste intervalo.

Resposta

A solução do problema de valor inicial certamente existe no intervalo (-infty, -2).

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