Seja um campo escalar e um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar. .

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido na questão. Temos um campo escalar e um campo vetorial . A questão pede para verificar se a expressão tem um significado. Para isso, precisamos saber o que significa o operador “gradiente” (ou ) e como ele se aplica a campos escalares e vetoriais.
Aqui, o conteúdo da matéria é campos escalares e vetoriais, mais especificamente a operação de gradiente.

Passo 2

O gradiente, simbolizado por , é uma operação que aplicamos a um campo escalar. Ele nos dá um novo campo, que é um campo vetorial. O gradiente indica a direção e a taxa máxima de variação do campo escalar.
Como estamos lidando com a expressão , precisamos considerar que é um campo vetorial. A operação de gradiente não é definida para campos vetoriais, porque ela requer um campo escalar como entrada. Portanto, aplicar o gradiente em um campo vetorial não tem sentido matemático.

Passo 3

Já que o gradiente só se aplica a campos escalares, a expressão não tem significado. O que podemos fazer é lembrar que a operação correta que se aplica a um campo vetorial é o chamado “divergente” ou “rotacional”, dependendo do resultado que estamos interessados.

Resposta

A expressão não tem significado, pois o gradiente só é definido para campos escalares, e é um campo vetorial.

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