Determine se o conjunto dado é ou não simplesmente conexo
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto definido por
. A matéria que vamos usar aqui é sobre topologia, especificamente o conceito de simples conexidade. Precisamos saber o que significa um conjunto ser simplesmente conexo e como isso se aplica ao conjunto dado.
Passo 2
Simples conexidade é uma propriedade de um conjunto que, basicamente, indica que qualquer “loop” dentro desse conjunto pode ser contraído a um ponto sem sair do conjunto. Para um conjunto no plano, isso significa que ele não tem “buracos”.
Passo 3
Vamos analisar o conjunto
. Esse conjunto representa todos os pontos do plano exceto os que estão na circunferência de raio 1 centrada na origem.
Passo 4
Visualizando isso, temos o plano todo menos a circunferência de raio 1. Essa ausência da circunferência cria um “buraco” no conjunto.
Passo 5
Como há um “buraco”, isso significa que existe pelo menos um loop que não pode ser contraído a um ponto sem atravessar esse buraco. Portanto, o conjunto não atende à condição de ser simplesmente conexo.
Resposta
O conjunto
não é simplesmente conexo.