Determine se o conjunto dado é ou não simplesmente conexo
{(x, y) | x^2 + y^2 != 1}

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto definido por {(x, y) | x^2 + y^2 != 1}. A matéria que vamos usar aqui é sobre topologia, especificamente o conceito de simples conexidade. Precisamos saber o que significa um conjunto ser simplesmente conexo e como isso se aplica ao conjunto dado.

Passo 2

Simples conexidade é uma propriedade de um conjunto que, basicamente, indica que qualquer “loop” dentro desse conjunto pode ser contraído a um ponto sem sair do conjunto. Para um conjunto no plano, isso significa que ele não tem “buracos”.

Passo 3

Vamos analisar o conjunto {(x, y) | x^2 + y^2 != 1}. Esse conjunto representa todos os pontos do plano exceto os que estão na circunferência de raio 1 centrada na origem.

Passo 4

Visualizando isso, temos o plano todo menos a circunferência de raio 1. Essa ausência da circunferência cria um “buraco” no conjunto.

Passo 5

Como há um “buraco”, isso significa que existe pelo menos um loop que não pode ser contraído a um ponto sem atravessar esse buraco. Portanto, o conjunto não atende à condição de ser simplesmente conexo.

Resposta

O conjunto {(x, y) | x^2 + y^2 != 1} não é simplesmente conexo.

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