Resolva as seguintes integrais, usando substituições trigonométricas:
73)
73)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui estamos lidando com cálculo, mais especificamente com integrais que envolvem substituições trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão sob a raiz e facilite a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma substituição trigonométrica adequada. Observando
, percebemos que uma boa escolha é usar a substituição hiperbólica, mas como estamos focando em trigonometria, usaremos
. Assim, temos:
Passo 3
Agora, substituímos
e
na integral original:
Substituindo tudo na integral:
Passo 4
Simplificamos a expressão usando identidades trigonométricas. Sabemos que
e
. Então:
Portanto, a integral fica:
Passo 5
Vamos simplificar ainda mais a integral usando uma substituição. Seja
, então
. Substituindo:
Passo 6
Integrando
:
Voltando para
:
Passo 7
Lembrando que
, podemos expressar
em termos de
. Sabemos que:
Então:
Resposta
A integral
é igual a:
Exercícios relacionados
Determine se o conjunto dado é ou não simplesmente conexo
Resolva as seguintes integrais trigonométricas:
68)
68)
Suponha que
seja homogênea de grau 2 e
para todo
, com
. Calcule
.
Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
83)
83)