Resolva as seguintes integrais, usando substituições trigonométricas:
73)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com cálculo, mais especificamente com integrais que envolvem substituições trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão sob a raiz e facilite a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição trigonométrica adequada. Observando , percebemos que uma boa escolha é usar a substituição hiperbólica, mas como estamos focando em trigonometria, usaremos . Assim, temos:

Passo 3

Agora, substituímos e na integral original:
Substituindo tudo na integral:

Passo 4

Simplificamos a expressão usando identidades trigonométricas. Sabemos que e . Então:
Portanto, a integral fica:

Passo 5

Vamos simplificar ainda mais a integral usando uma substituição. Seja , então . Substituindo:

Passo 6

Integrando :
Voltando para :

Passo 7

Lembrando que , podemos expressar em termos de . Sabemos que:
Então:

Resposta

A integral é igual a:

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68)
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83)