Resolva as seguintes integrais, usando substituições trigonométricas:
73) integral raiz1+x^2x^4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral raiz1+x^2x^4 , dx. Aqui estamos lidando com cálculo, mais especificamente com integrais que envolvem substituições trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão sob a raiz e facilite a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição trigonométrica adequada. Observando raiz1+x^2, percebemos que uma boa escolha é usar a substituição hiperbólica, mas como estamos focando em trigonometria, usaremos x = tantheta. Assim, temos:
x = tantheta Rightarrow dx = sec^2theta , dtheta

Passo 3

Agora, substituímos x e dx na integral original:
raiz1+x^2 = raiz1+tan^2theta = raizsec^2theta = sectheta
Substituindo tudo na integral:
integral secthetatan^4theta cdot sec^2theta , dtheta = integral sec^3thetatan^4theta , dtheta

Passo 4

Simplificamos a expressão usando identidades trigonométricas. Sabemos que tantheta = sinthetacostheta e sectheta = 1costheta. Então:
sec^3thetatan^4theta = 1cos^3theta(sinthetacostheta)^4 = 1cos^3theta cdot cos^4thetasin^4theta = costhetasin^4theta
Portanto, a integral fica:
integral costhetasin^4theta , dtheta

Passo 5

Vamos simplificar ainda mais a integral usando uma substituição. Seja u = sintheta, então du = costheta , dtheta. Substituindo:
integral 1u^4 , du = integral u^-4 , du

Passo 6

Integrando u^-4:
integral u^-4 , du = u^-3-3 + C = -13u^3 + C
Voltando para theta:
-13sin^3theta + C

Passo 7

Lembrando que x = tantheta, podemos expressar sintheta em termos de x. Sabemos que:
sintheta = xraiz1+x^2
Então:
-13(xraiz1+x^2)^3 + C = -(1+x^2)^3/23x^3 + C

Resposta

A integral integral raiz1+x^2x^4 , dx é igual a:
-(1+x^2)^3/23x^3 + C

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