Resolva as seguintes integrais trigonométricas:
68) integral sen^3(2 x) cos ^4(2 x) d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos resolver a integral trigonométrica integral sin^3(2x) cos^4(2x) , dx. Para isso, vamos usar identidades trigonométricas e técnicas de integração, como a substituição.

Passo 2

Vamos começar separando um fator de sin(2x) da integral. Isso é útil porque podemos usar a identidade sin^2(x) = 1 - cos^2(x) para simplificar a expressão.

Passo 3

Reescrevemos a integral:
integral sin^3(2x) cos^4(2x) , dx = integral sin^2(2x) cdot sin(2x) cos^4(2x) , dx = integral (1 - cos^2(2x)) sin(2x) cos^4(2x) , dx

Passo 4

Agora, fazemos a substituição u = cos(2x). Derivando ambos os lados, temos du = -2 sin(2x) , dx, ou seja, sin(2x) , dx = -12 , du.

Passo 5

Substituímos na integral:
integral (1 - u^2) u^4 (-12) , du = -12 integral (u^4 - u^6) , du

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
- 12 ( u^55 - u^77 ) + C

Passo 7

Substituímos u = cos(2x) de volta na expressão:
- 12 ( cos^5(2x)5 - cos^7(2x)7 ) + C = cos^7(2x)14 - cos^5(2x)10 + C

Resposta

A integral integral sin^3(2x) cos^4(2x) , dx é igual a cos^7(2x)14 - cos^5(2x)10 + C, onde C é a constante de integração.

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