Determine se o conjunto dado é ou não simplesmente conexo
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar se o conjunto
é ou não simplesmente conexo. Isso envolve conceitos de topologia, mais especificamente sobre espaços simplesmente conexos. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser simplesmente conexo e analisar as propriedades desse conjunto específico.
Passo 2
Um conjunto é chamado de simplesmente conexo se ele for conexo (ou seja, qualquer dois pontos podem ser ligados por um caminho contínuo dentro do conjunto) e se toda trajetória fechada dentro do conjunto puder ser contraída a um único ponto sem sair do conjunto. Basicamente, não deve haver “buracos” no conjunto.
Passo 3
Vamos analisar o conjunto
. Esse conjunto representa o plano cartesiano
menos a linha definida por
. Essa linha é uma reta que passa pela origem e tem inclinação de -1.
Passo 4
Remover uma linha do plano cria um “buraco” infinitamente estreito, mas ainda assim suficiente para que algumas trajetórias fechadas não possam ser encurtadas a um ponto sem cruzar a linha removida. Por exemplo, considere um círculo ao redor da origem que tenta ser contraído; ele não consegue passar pelo “buraco” criado pela remoção da linha
.
Passo 5
Como existe pelo menos um “buraco” no conjunto (devido à remoção da linha), o conjunto não atende à condição de ser simplesmente conexo. Ele é conexo, mas não simplesmente conexo.
Resposta
O conjunto
não é simplesmente conexo.
Exercícios relacionados
Determine se
é ou não um campo vetorial conservativo. Em caso afirmativo, determine uma função
tal que
.
Determine uma função
tal que
e utilize este fato para calcular
sobre a curva
indicada.
é o arco da hipérbole
de
a
;
Resolva as seguintes integrais trigonométricas:
68)
68)
Determine se o conjunto dado é ou não simplesmente conexo