Determine se o conjunto dado é ou não simplesmente conexo

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar se o conjunto é ou não simplesmente conexo. Isso envolve conceitos de topologia, mais especificamente sobre espaços simplesmente conexos. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser simplesmente conexo e analisar as propriedades desse conjunto específico.

Passo 2

Um conjunto é chamado de simplesmente conexo se ele for conexo (ou seja, qualquer dois pontos podem ser ligados por um caminho contínuo dentro do conjunto) e se toda trajetória fechada dentro do conjunto puder ser contraída a um único ponto sem sair do conjunto. Basicamente, não deve haver “buracos” no conjunto.

Passo 3

Vamos analisar o conjunto . Esse conjunto representa o plano cartesiano menos a linha definida por . Essa linha é uma reta que passa pela origem e tem inclinação de -1.

Passo 4

Remover uma linha do plano cria um “buraco” infinitamente estreito, mas ainda assim suficiente para que algumas trajetórias fechadas não possam ser encurtadas a um ponto sem cruzar a linha removida. Por exemplo, considere um círculo ao redor da origem que tenta ser contraído; ele não consegue passar pelo “buraco” criado pela remoção da linha .

Passo 5

Como existe pelo menos um “buraco” no conjunto (devido à remoção da linha), o conjunto não atende à condição de ser simplesmente conexo. Ele é conexo, mas não simplesmente conexo.

Resposta

O conjunto não é simplesmente conexo.

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