Suponha que f: R^2 -> R seja homogênea de grau 2 e f(a, b) = a para todo a, b, com a^2 + b^2 = 1. Calcule f(raiz(2)/2, raiz(2)/2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos diz que temos uma função que é homogênea de grau 2. Além disso, sabemos que para qualquer par de números que satisfazem , a função retorna . Nosso objetivo é descobrir o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função ser homogênea de grau 2. Isso quer dizer que se a gente multiplicar tanto quanto por um número qualquer , a função vai se comportar assim:
Isso é útil porque nos ajuda a relacionar o valor de em diferentes pontos do plano.

Passo 3

Agora, queremos calcular . Observa que:
Então, o ponto já está na circunferência unitária onde .

Passo 4

Como a função retorna para qualquer ponto na circunferência unitária, podemos aplicar isso diretamente:

Resposta

O valor de é .

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