Determine uma função
tal que
e utilize este fato para calcular
sobre a curva
indicada.
é o arco da hipérbole
de
a
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma função
tal que o campo vetorial
. Isso faz parte do estudo de campos conservativos no cálculo vetorial. Depois de achar essa função, vamos usar ela para calcular a integral de linha
sobre a curva
, que aqui é o arco da hipérbole
indo de
até
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a função
tal que
. O gradiente
é dado por:
Então, queremos que:
Passo 3
Vamos começar integrando a primeira componente de
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
, já que a integração foi feita em relação a
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar
derivando
em relação a
e igualando à segunda componente de
:
Sabemos que:
Então:
Integrando
, temos:
Onde
é uma constante. Podemos considerar
para simplificar, já que estamos interessados apenas na diferença
entre dois pontos.
Então, a função
fica:
Passo 5
Agora que temos
, vamos calcular a integral de linha usando o teorema fundamental do cálculo para campos conservativos, que diz que:
Os pontos são
e
. Vamos calcular:
Então:
Resposta
A integral de linha
vale 9.