Determine uma função f tal que F=nabla f e utilize este fato para calcular integralC F cdot d r sobre a curva C indicada.
F(x, y)=(3+2 x y^2, 2 x^2 y), C é o arco da hipérbole y=1 / x de (1,1) a (4,1 / 4);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma função tal que o campo vetorial . Isso faz parte do estudo de campos conservativos no cálculo vetorial. Depois de achar essa função, vamos usar ela para calcular a integral de linha sobre a curva , que aqui é o arco da hipérbole indo de até .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) tal que ( partial fpartial x, partial fpartial y ) = ( 3 + 2xy^2, 2x^2 y ) . O gradiente é dado por:
Então, queremos que:

Passo 3

Vamos começar integrando a primeira componente de partial fpartial x = 3 + 2xy^2 f(x, y) = integral (3 + 2xy^2) , dx = 3x + x^2 y^2 + g(y) em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função que depende apenas de , já que a integração foi feita em relação a .

Passo 4

Agora, vamos encontrar partial fpartial y = partialpartial y (3x + x^2 y^2 + g(y)) = 2x^2 y + g'(y) derivando partial fpartial y = 2x^2 y em relação a 2x^2 y + g'(y) = 2x^2 y g'(y) = 0 e igualando à segunda componente de g(y) = C :
f(x, y) = 3x + x^2 y^2
Sabemos que:
Então:
Integrando , temos:
Onde é uma constante. Podemos considerar para simplificar, já que estamos interessados apenas na diferença entre dois pontos.
Então, a função fica:

Passo 5

Agora que temos integralC F cdot dr = f(Ponto final) - f(Ponto inicial) , vamos calcular a integral de linha usando o teorema fundamental do cálculo para campos conservativos, que diz que:
f(4, 14) = 3(4) + (4)^2 (14)^2 = 12 + 16 (116) = 12 + 1 = 13
Os pontos são f(1, 1) = 3(1) + (1)^2 (1)^2 = 3 + 1 = 4 e integralC F cdot dr = 13 - 4 = 9 . Vamos calcular:
Então:

Resposta

A integral de linha vale 9.

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