Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Em caso afirmativo, determine uma função f tal que F = nabla f.
F(x, y) = (y^2 * cos(x) + cos(y), 2 * y * sen(x) - x * sen(y))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o campo vetorial é conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função f tal que .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo vetorial conservativo e como verificar essa condição. Basicamente, um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar. Isso tem implicações importantes, como a independência do caminho para integrais sobre esse campo.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se o campo F é realmente conservativo. Em duas dimensões, um critério simples para isso é verificar se a derivada parcial cruzada dos componentes do campo é igual. Mais especificamente, se P(x, y) e Q(x, y) são as componentes de F, então o campo é conservativo se:
No nosso caso, temos:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando :
Agora, calculando :

Passo 4

Comparando as duas derivadas:
Como , o campo F é conservativo.

Passo 5

Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar a função potencial f tal que . Isso significa que:
Vamos começar integrando P(x, y) em relação a x para encontrar f(x, y).

Passo 6

Integrando P(x, y) em relação a x:
Aqui, g(y) é uma função arbitrária que depende apenas de y. Precisamos determinar g(y).

Passo 7

Para encontrar g(y), diferenciamos f(x, y) em relação a y e igualamos a que já conhecemos:
Comparando os termos, vemos que:
Isso implica que g(y) é uma constante. Vamos chamar essa constante de C.

Passo 8

Então, a função potencial f(x, y) é:
Para simplificar, podemos ignorar a constante C, já que ela não afeta o gradiente.

Resposta

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