Determine se é ou não um campo vetorial conservativo. Em caso afirmativo, determine uma função tal que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o campo vetorial é conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função tal que .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo vetorial conservativo e como verificar essa condição. Basicamente, um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar. Isso tem implicações importantes, como a independência do caminho para integrais sobre esse campo.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se o campo é realmente conservativo. Em duas dimensões, um critério simples para isso é verificar se a derivada parcial cruzada dos componentes do campo é igual. Mais especificamente, se e são as componentes de , então o campo é conservativo se:
No nosso caso, temos:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando :
Agora, calculando :

Passo 4

Comparando as duas derivadas:
Como , o campo é conservativo.

Passo 5

Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar a função potencial tal que . Isso significa que:
Vamos começar integrando em relação a para encontrar .

Passo 6

Integrando em relação a :
Aqui, é uma função arbitrária que depende apenas de . Precisamos determinar .

Passo 7

Para encontrar , diferenciamos em relação a e igualamos a que já conhecemos:
Comparando os termos, vemos que:
Isso implica que é uma constante. Vamos chamar essa constante de .

Passo 8

Então, a função potencial é:
Para simplificar, podemos ignorar a constante , já que ela não afeta o gradiente.

Resposta

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