Determine se
é ou não um campo vetorial conservativo. Em caso afirmativo, determine uma função
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o campo vetorial
é conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função
tal que
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo vetorial conservativo e como verificar essa condição. Basicamente, um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar. Isso tem implicações importantes, como a independência do caminho para integrais sobre esse campo.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se o campo
é realmente conservativo. Em duas dimensões, um critério simples para isso é verificar se a derivada parcial cruzada dos componentes do campo é igual. Mais especificamente, se
e
são as componentes de
, então o campo é conservativo se:
No nosso caso, temos:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 3
Calculando
:
Agora, calculando
:
Passo 4
Comparando as duas derivadas:
Como
, o campo
é conservativo.
Passo 5
Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar a função potencial
tal que
. Isso significa que:
Vamos começar integrando
em relação a
para encontrar
.
Passo 6
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função arbitrária que depende apenas de
. Precisamos determinar
.
Passo 7
Para encontrar
, diferenciamos
em relação a
e igualamos a
que já conhecemos:
Comparando os termos, vemos que:
Isso implica que
é uma constante. Vamos chamar essa constante de
.
Passo 8
Então, a função potencial
é:
Para simplificar, podemos ignorar a constante
, já que ela não afeta o gradiente.
Resposta
Exercícios relacionados
Determine uma função
tal que
e utilize este fato para calcular
sobre a curva
indicada.
é o arco da hipérbole
de
a
;
Determine se
é ou não um campo vetorial conservativo. Em caso afirmativo, determine uma função
tal que
.
Determine se o conjunto dado é ou não simplesmente conexo
Resolva as seguintes integrais trigonométricas:
68)
68)