Verifique que a EDO (x^2 + 2xy + y^2) dx + (x^2 + 2xy - 1) dy = 0 é exata e em seguida resolva-a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é assim:
O que a gente precisa fazer primeiro é verificar se essa equação é exata. Depois, se for exata mesmo, a gente resolve ela. Pra isso, vamos precisar entender o que é uma EDO exata e como identificar uma.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma EDO ser exata. Uma equação diferencial da forma:
é exata se existir uma função tal que:
Ou seja, é a derivada parcial de em relação a e em relação a .

Passo 3

Para verificar se a nossa EDO é exata, vamos calcular as derivadas parciais de e e ver se elas são iguais. Se forem, então a equação é exata.
Dado:
Vamos calcular e .

Passo 4

Calculando :
Agora, calculando :

Passo 5

Vimos que:
Como , a EDO é exata! Agora podemos seguir para resolver a equação.

Passo 6

Para resolver a EDO exata, precisamos encontrar a função tal que:
Vamos integrar em relação a para encontrar .
Integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de , já que ao integrar em relação a , a “constante” de integração pode depender de .

Passo 7

Agora, vamos usar a condição que para encontrar .
Sabendo que:
Calculando :
Mas sabemos que deve ser igual a . Então:
Simplificando, temos:
Integrando em relação a :
Onde é uma constante de integração.

Passo 8

Agora, substituímos de volta na expressão de :
Como estamos resolvendo a equação , podemos absorver na constante geral. Então, a solução da EDO é:

Resposta

A solução da EDO é:
Onde é uma constante qualquer.

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