Verifique que a EDO
é exata e em seguida resolva-a.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é assim:
O que a gente precisa fazer primeiro é verificar se essa equação é exata. Depois, se for exata mesmo, a gente resolve ela. Pra isso, vamos precisar entender o que é uma EDO exata e como identificar uma.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma EDO ser exata. Uma equação diferencial da forma:
é exata se existir uma função
tal que:
Ou seja,
é a derivada parcial de
em relação a
e
em relação a
.
Passo 3
Para verificar se a nossa EDO é exata, vamos calcular as derivadas parciais de
e
e ver se elas são iguais. Se forem, então a equação é exata.
Dado:
Vamos calcular
e
.
Passo 4
Calculando
:
Agora, calculando
:
Passo 5
Vimos que:
Como
, a EDO é exata! Agora podemos seguir para resolver a equação.
Passo 6
Para resolver a EDO exata, precisamos encontrar a função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
.
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
, já que ao integrar em relação a
, a “constante” de integração pode depender de
.
Passo 7
Agora, vamos usar a condição que
para encontrar
.
Sabendo que:
Calculando
:
Mas sabemos que
deve ser igual a
. Então:
Simplificando, temos:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 8
Agora, substituímos
de volta na expressão de
:
Como estamos resolvendo a equação
, podemos absorver
na constante geral. Então, a solução da EDO é:
Resposta
A solução da EDO é:
Onde
é uma constante qualquer.
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o)
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k)
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