Dê um exemplo
b) Um conjunto com infinitos elementos e um único ponto de acumulação.

Passo 1

Vamos criar um conjunto que tenha infinitos elementos, ou seja, sem fim, mas que tenha apenas um ponto de acumulação. Isso está ligado ao estudo de limites e pontos de acumulação na análise matemática. Precisaremos entender o que é um ponto de acumulação e como construir um conjunto que satisfaça essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um ponto de acumulação. Um ponto de acumulação de um conjunto é um ponto onde, se você olhar ao redor dele, sempre vai encontrar elementos do conjunto, não importa quão perto você olhe. No nosso caso, queremos que exista apenas um desses pontos para todo o conjunto.

Passo 3

Agora, pensamos em um conjunto infinito que “se aproxima” de um único ponto. Uma maneira simples de fazer isso é considerar uma sequência que converge para esse ponto. Por exemplo, imagine que temos números cada vez menores que se aproximam de zero.

Passo 4

Vamos definir o conjunto . Aqui, representa os números naturais (1, 2, 3, …). Esse conjunto inclui todos os números da forma e também o zero.

Passo 5

Vamos analisar esse conjunto:
  • Existem infinitos elementos, já que para cada número natural , temos um novo elemento .
  • O único ponto de acumulação é zero, porque à medida que aumenta, se aproxima cada vez mais de zero, e não há outros pontos onde os elementos do conjunto se acumulem.

Resposta

Um exemplo é o conjunto . Esse conjunto tem infinitos elementos e 0 é o único ponto de acumulação.

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