Determine a taxa de variação máxima da função em
e a direção em que isso ocorre.
.
Passo 1
Vamos resolver o problema que pede para determinar a taxa de variação máxima da função em P e a direção em que isso ocorre. A função dada é
e o ponto considerado é
. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, avaliamos o gradiente no ponto
:
O gradiente em
é o vetor
.
Passo 5
A taxa de variação máxima da função em
é dada pelo módulo do gradiente nesse ponto. Calculamos o módulo do vetor
:
Passo 6
A direção em que ocorre a taxa de variação máxima é a própria direção do gradiente. Para encontrar essa direção, podemos normalizar o vetor
:
Isso significa que a direção está a 45 graus em relação aos eixos
e
.
Resposta
A taxa de variação máxima da função em
é
e ocorre na direção do vetor
.
Exercícios relacionados
Determine a taxa de variação máxima da função em
e a direção em que isso ocorre.
Determine
e
, para
definida implicitamente por:
Determine as direções em que a derivada direcional de
no ponto (2,0) tem valor 1 .