Determine a taxa de variação máxima da função em P e a direção em que isso ocorre. f(x, y) = y * e^(-x) + x * e^(-y), P = (0, 0).

Passo 1

Vamos resolver o problema que pede para determinar a taxa de variação máxima da função em P e a direção em que isso ocorre. A função dada é e o ponto considerado é . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e :
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Calculando a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, avaliamos o gradiente no ponto :
O gradiente em é o vetor .

Passo 5

A taxa de variação máxima da função em é dada pelo módulo do gradiente nesse ponto. Calculamos o módulo do vetor :

Passo 6

A direção em que ocorre a taxa de variação máxima é a própria direção do gradiente. Para encontrar essa direção, podemos normalizar o vetor :
çã
Isso significa que a direção está a 45 graus em relação aos eixos e .

Resposta

A taxa de variação máxima da função em é e ocorre na direção do vetor .

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