Determine as direções em que a derivada direcional de
no ponto (2,0) tem valor 1 .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função
e queremos descobrir em quais direções a derivada direcional dessa função no ponto
é igual a 1. Vamos trabalhar com o conteúdo de derivadas direcionais e gradientes para resolver isso. Precisaremos calcular o gradiente da função no ponto dado e depois usar isso para encontrar as direções desejadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada direcional. Ela nos informa a taxa de variação da função em uma direção específica. Matematicamente, é calculada usando o gradiente da função e o vetor direcional. A fórmula é:
onde
é o gradiente de
e
é o vetor direcional unitário.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é composto pelas derivadas parciais em relação a
e
:
Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos
:
Passo 4
Vamos avaliar o gradiente no ponto
. Substituindo
e
nas derivadas parciais:
Então, o gradiente no ponto
é:
Passo 5
Agora, queremos encontrar as direções
unitárias onde a derivada direcional é 1. Usando a fórmula da derivada direcional:
Queremos que
, então:
Passo 6
Como
é um vetor unitário, temos que:
Sabendo que
, substituímos na equação:
Portanto, a direção é
.
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
é igual a 1 na direção
.
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Determine a taxa de variação máxima da função em
e a direção em que isso ocorre.
.
Determine a taxa de variação máxima da função em
e a direção em que isso ocorre.