Determine as direções em que a derivada direcional de no ponto (2,0) tem valor 1 .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos descobrir em quais direções a derivada direcional dessa função no ponto é igual a 1. Vamos trabalhar com o conteúdo de derivadas direcionais e gradientes para resolver isso. Precisaremos calcular o gradiente da função no ponto dado e depois usar isso para encontrar as direções desejadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada direcional. Ela nos informa a taxa de variação da função em uma direção específica. Matematicamente, é calculada usando o gradiente da função e o vetor direcional. A fórmula é:
onde é o gradiente de e é o vetor direcional unitário.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é composto pelas derivadas parciais em relação a e :
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :

Passo 4

Vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo e nas derivadas parciais:
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 5

Agora, queremos encontrar as direções unitárias onde a derivada direcional é 1. Usando a fórmula da derivada direcional:
Queremos que , então:

Passo 6

Como é um vetor unitário, temos que:
Sabendo que , substituímos na equação:
Portanto, a direção é .

Resposta

A derivada direcional de no ponto é igual a 1 na direção .

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Determine a taxa de variação máxima da função em e a direção em que isso ocorre. .
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Determine o conjunto domínio e faça um esboço deste conjunto para cada uma das funções dadas.
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