Determine se o conjunto equipado com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são espaços vetoriais, identifique os axiomas que falham: O conjunto de todas as matrizes
da forma
com as operações matriciais padrão de adição e multiplicação por escalar.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que verificar se o conjunto de todas as matrizes
da forma
com as operações padrão de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial. Isso pertence à matéria de Álgebra Linear, mais especificamente ao estudo de espaços vetoriais e suas propriedades. Vamos precisar revisar os axiomas que definem um espaço vetorial para ver se todos são atendidos por esse conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as operações padrão de adição e multiplicação por escalar para matrizes. A adição de duas matrizes é feita somando elemento a elemento, e a multiplicação por um escalar (um número real, por exemplo) consiste em multiplicar cada elemento da matriz por esse escalar.
Passo 3
Agora, vamos verificar os axiomas de um espaço vetorial um por um para esse conjunto de matrizes.
Passo 4
Axioma 1: Fechamento sob a adição
Se pegarmos duas matrizes do nosso conjunto:
[
+
]
Vemos que o resultado também é uma matriz do mesmo tipo. Então, essa propriedade está ok.
Passo 5
Axioma 2: Fechamento sob a multiplicação por escalar
Se multiplicarmos uma matriz do conjunto por um escalar
:
[
k \cdot
]
O resultado também está dentro do nosso conjunto. Então, essa propriedade também está boa.
Passo 6
Axioma 3: Associatividade da adição
Para três matrizes quaisquer do conjunto, a soma associativa mantém a forma:
Para três matrizes quaisquer do conjunto, a soma associativa mantém a forma:
Isso funciona normalmente com matrizes diagonais, então estamos ok aqui.
Passo 7
Axioma 4: Elemento neutro da adição
A matriz zero:
A matriz zero:
está no nosso conjunto e funciona como elemento neutro, pois adicionar ela a qualquer matriz do conjunto não muda a matriz original.
Passo 8
Axioma 5: Elemento inverso da adição
Para cada matriz:
Para cada matriz:
existe a matriz inversa:
que também está no conjunto, já que os elementos continuam na forma diagonal.
Passo 9
Axioma 6: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial
Para um escalar e duas matrizes do conjunto:
Para um escalar
Isso funciona perfeitamente para matrizes diagonais.
Passo 10
Axioma 7: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares
Para dois escalares e
e uma matriz do conjunto:
Para dois escalares
Novamente, isso funciona bem para matrizes diagonais.
Passo 11
Axioma 8: Associatividade da multiplicação por escalar
Para dois escalares e
e uma matriz do conjunto:
Para dois escalares
Essa propriedade também é mantida nas matrizes diagonais.
Passo 12
Axioma 9: Elemento neutro da multiplicação por escalar
O escalar 1 atua como elemento neutro, já que:
O escalar 1 atua como elemento neutro, já que:
Isso está claro para qualquer matriz do conjunto.
Resposta
Todos os axiomas de espaço vetorial são satisfeitos pelo conjunto das matrizes
diagonais com as operações padrão de adição e multiplicação por escalar. Portanto, esse conjunto é um espaço vetorial.
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Escreva o vetor
como combinação linear dos seguintes conjuntos de vetores em
:
c) .
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Escreva o vetor
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:
b)
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Dados os vetores
e
.
a) Eles são LIs?
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