Determine se o conjunto equipado com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são espaços vetoriais, identifique os axiomas que falham: O conjunto de todas as matrizes da forma
com as operações matriciais padrão de adição e multiplicação por escalar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que verificar se o conjunto de todas as matrizes da forma
com as operações padrão de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial. Isso pertence à matéria de Álgebra Linear, mais especificamente ao estudo de espaços vetoriais e suas propriedades. Vamos precisar revisar os axiomas que definem um espaço vetorial para ver se todos são atendidos por esse conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as operações padrão de adição e multiplicação por escalar para matrizes. A adição de duas matrizes é feita somando elemento a elemento, e a multiplicação por um escalar (um número real, por exemplo) consiste em multiplicar cada elemento da matriz por esse escalar.

Passo 3

Agora, vamos verificar os axiomas de um espaço vetorial um por um para esse conjunto de matrizes.

Passo 4

Axioma 1: Fechamento sob a adição
Se pegarmos duas matrizes do nosso conjunto:
[

+


]
Vemos que o resultado também é uma matriz do mesmo tipo. Então, essa propriedade está ok.

Passo 5

Axioma 2: Fechamento sob a multiplicação por escalar
Se multiplicarmos uma matriz do conjunto por um escalar :
[
k \cdot


]
O resultado também está dentro do nosso conjunto. Então, essa propriedade também está boa.

Passo 6

Axioma 3: Associatividade da adição
Para três matrizes quaisquer do conjunto, a soma associativa mantém a forma:
Isso funciona normalmente com matrizes diagonais, então estamos ok aqui.

Passo 7

Axioma 4: Elemento neutro da adição
A matriz zero:
está no nosso conjunto e funciona como elemento neutro, pois adicionar ela a qualquer matriz do conjunto não muda a matriz original.

Passo 8

Axioma 5: Elemento inverso da adição
Para cada matriz:
existe a matriz inversa:
que também está no conjunto, já que os elementos continuam na forma diagonal.

Passo 9

Axioma 6: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial
Para um escalar e duas matrizes do conjunto:
Isso funciona perfeitamente para matrizes diagonais.

Passo 10

Axioma 7: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares
Para dois escalares e e uma matriz do conjunto:
Novamente, isso funciona bem para matrizes diagonais.

Passo 11

Axioma 8: Associatividade da multiplicação por escalar
Para dois escalares e e uma matriz do conjunto:
Essa propriedade também é mantida nas matrizes diagonais.

Passo 12

Axioma 9: Elemento neutro da multiplicação por escalar
O escalar 1 atua como elemento neutro, já que:
Isso está claro para qualquer matriz do conjunto.

Resposta

Todos os axiomas de espaço vetorial são satisfeitos pelo conjunto das matrizes diagonais com as operações padrão de adição e multiplicação por escalar. Portanto, esse conjunto é um espaço vetorial.

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