Determine o conjunto em que a função é contínua:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir onde a função
é contínua. A função está definida de duas maneiras diferentes, dependendo se
é menor ou igual a 5, ou maior que 5. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade e analisar essas duas partes da função.
Passo 2
Primeiro, lembra que uma função é contínua num ponto se, ao se aproximar desse ponto de qualquer direção, o valor da função se aproxima de um único valor específico. No nosso caso, a função muda de expressão quando
, então é nessa “fronteira” que precisamos prestar atenção especial.
Passo 3
Vamos dividir em duas regiões:
- Região interna onde
: Aqui, a função é . Como é um polinômio, sabemos que é contínua em todos os pontos dessa região. - Região externa onde
: Aqui, a função é constante, , que também é contínua em toda essa região.
Passo 4
Agora, vamos examinar a fronteira onde
. Se a função for contínua nessa fronteira, os valores vindos de dentro e de fora devem coincidir. Então:
- De dentro (
): (pois ). - De fora (
): .
Como 5 não é igual a 3, há uma descontinuidade na fronteira.
Passo 5
Portanto, a função é contínua em todas as áreas internas (
) e externas (
), mas apresenta descontinuidade exatamente na fronteira
.
Resposta
A função
é contínua para todos os pontos onde
ou
.
Exercícios relacionados
Determine as curvas de nível e as interseçōes do gráfico da função com os planos yz e
e faça um esboço do gráfico:
Determine a taxa de variação máxima da função em
e a direção em que isso ocorre.
Determine a inclinação da reta tangente à curva gerada pela interseção do gráfico da função:
com o plano
, no ponto (4,2).
Determine a inclinação da reta tangente à curva gerada pela interseção do gráfico da função:
com o plano
, no ponto
.