Determine o conjunto em que a função é contínua:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir onde a função é contínua. A função está definida de duas maneiras diferentes, dependendo se é menor ou igual a 5, ou maior que 5. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade e analisar essas duas partes da função.

Passo 2

Primeiro, lembra que uma função é contínua num ponto se, ao se aproximar desse ponto de qualquer direção, o valor da função se aproxima de um único valor específico. No nosso caso, a função muda de expressão quando , então é nessa “fronteira” que precisamos prestar atenção especial.

Passo 3

Vamos dividir em duas regiões:
  1. Região interna onde : Aqui, a função é . Como é um polinômio, sabemos que é contínua em todos os pontos dessa região.
  2. Região externa onde : Aqui, a função é constante, , que também é contínua em toda essa região.

Passo 4

Agora, vamos examinar a fronteira onde . Se a função for contínua nessa fronteira, os valores vindos de dentro e de fora devem coincidir. Então:
  • De dentro ( ): (pois ).
  • De fora ( ): .
Como 5 não é igual a 3, há uma descontinuidade na fronteira.

Passo 5

Portanto, a função é contínua em todas as áreas internas ( ) e externas ( ), mas apresenta descontinuidade exatamente na fronteira .

Resposta

A função é contínua para todos os pontos onde ou .

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Determine a taxa de variação máxima da função em e a direção em que isso ocorre.
Determine a inclinação da reta tangente à curva gerada pela interseção do gráfico da função:
com o plano , no ponto (4,2).
Determine a inclinação da reta tangente à curva gerada pela interseção do gráfico da função:
com o plano , no ponto .