Determine a inclinação da reta tangente à curva gerada pela interseção do gráfico da função:
f(x, y) = ln(y^4) + x^3 * y + 5 * x com o plano y = 1, no ponto (2,1).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a inclinação da reta tangente à curva que resulta da interseção do gráfico da função
com o plano , no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente derivadas, para determinar essa inclinação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação da curva de interseção substituindo na função :
Como , a equação simplifica para:

Passo 3

Agora, queremos encontrar a inclinação da reta tangente a essa curva no ponto . Para isso, vamos derivar a equação em relação a para encontrar .
Derivando ambos os lados da equação:
No ponto :
No entanto, percebemos que há uma inconsistência aqui. Como é constante, a derivada deve ser zero, já que não há variação em quando muda. Isso indica que a reta tangente é horizontal no ponto dado.

Resposta

A inclinação da reta tangente à curva no ponto é .

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