Determine as curvas de nível e as interseçōes do gráfico da função com os planos yz e x z e faça um esboço do gráfico:
f(x, y) = 1 + x^2 + 4y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as curvas de nível e as interseções do gráfico da função com os planos e . Além disso, vamos fazer um esboço de como fica o gráfico da função . Isso envolve um pouco de geometria analítica e estudo de superfícies no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são linhas no plano onde a função mantém um valor constante. Ou seja, para um valor específico de , temos . Vamos encontrar essas curvas para diferentes valores de .

Passo 3

Vamos determinar as curvas de nível para . Igualando a :
Podemos reescrever isso como:
Essa é a equação de uma elipse, desde que . Isso significa que para cada valor de maior que 1, teremos uma elipse no plano .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as interseções do gráfico da função com os planos e .
Interseção com o plano :
No plano , . Substituindo na função:
Isso representa uma parábola no plano , onde .
Interseção com o plano :
No plano , . Substituindo na função:
Isso também é uma parábola, agora no plano , onde .

Passo 5

Por último, vamos fazer um esboço do gráfico da função . Essa função representa uma superfície chamada paraboloide elíptico, que se abre para cima. As curvas de nível são elipses, e as interseções com os planos e são parábolas.

Resposta

As curvas de nível da função são elipses definidas por para . As interseções do gráfico com o plano são parábolas dadas por , e com o plano são parábolas dadas por . O gráfico da função é um paraboloide elíptico que se abre para cima.

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