Determine as curvas de nível e as interseçōes do gráfico da função com os planos yz e
e faça um esboço do gráfico:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as curvas de nível e as interseções do gráfico da função com os planos
e
. Além disso, vamos fazer um esboço de como fica o gráfico da função
. Isso envolve um pouco de geometria analítica e estudo de superfícies no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são linhas no plano
onde a função
mantém um valor constante. Ou seja, para um valor específico de
, temos
. Vamos encontrar essas curvas para diferentes valores de
.
Passo 3
Vamos determinar as curvas de nível para
. Igualando a
:
Podemos reescrever isso como:
Essa é a equação de uma elipse, desde que
. Isso significa que para cada valor de
maior que 1, teremos uma elipse no plano
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as interseções do gráfico da função com os planos
e
.
Interseção com o plano
:
No plano ,
. Substituindo na função:
No plano
Isso representa uma parábola no plano
, onde
.
Interseção com o plano
:
No plano ,
. Substituindo na função:
No plano
Isso também é uma parábola, agora no plano
, onde
.
Passo 5
Por último, vamos fazer um esboço do gráfico da função
. Essa função representa uma superfície chamada paraboloide elíptico, que se abre para cima. As curvas de nível são elipses, e as interseções com os planos
e
são parábolas.
Resposta
As curvas de nível da função
são elipses definidas por
para
. As interseções do gráfico com o plano
são parábolas dadas por
, e com o plano
são parábolas dadas por
. O gráfico da função é um paraboloide elíptico que se abre para cima.
Exercícios relacionados
Determine a taxa de variação máxima da função em
e a direção em que isso ocorre.
Determine o vetor gradiente da funçāo em
e a derivada direcional em
na direção do vetor
.
e
Determine o conjunto em que a função é contínua:
Determine a inclinação da reta tangente à curva gerada pela interseção do gráfico da função:
com o plano
, no ponto (4,2).