Determine a inclinação da reta tangente à curva gerada pela interseção do gráfico da função:
com o plano , no ponto (4,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a inclinação da reta tangente à curva formada pela interseção do gráfico da função com o plano , no ponto (4, 2). Vamos usar conceitos de derivadas e geometria das curvas para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a interseção do gráfico da função com o plano . A função define uma superfície no espaço 3D, onde . Ao intersectar essa superfície com o plano , estamos fixando o valor de e observando como varia com .

Passo 3

Substituindo na função, temos:
Isso nos dá a equação da curva de interseção no plano , que é .

Passo 4

Agora, para encontrar a inclinação da reta tangente nessa curva no ponto (4, 2), precisamos calcular a derivada de em relação a , ou seja, .

Passo 5

Vamos calcular a derivada de :

Passo 6

Agora, substituímos na derivada para encontrar a inclinação no ponto específico:

Resposta

A inclinação da reta tangente no ponto (4, 2) é .

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Determine o conjunto em que a função é contínua:
Determine as curvas de nível e as interseçōes do gráfico da função com os planos yz e e faça um esboço do gráfico:
Determine a inclinação da reta tangente à curva gerada pela interseção do gráfico da função:
com o plano , no ponto .
Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função: