Determine a inclinação da reta tangente à curva gerada pela interseção do gráfico da função: com o plano , no ponto (4,2).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a inclinação da reta tangente à curva formada pela interseção do gráfico da função com o plano , no ponto (4, 2). Vamos usar conceitos de derivadas e geometria das curvas para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a interseção do gráfico da função com o plano . A função define uma superfície no espaço 3D, onde . Ao intersectar essa superfície com o plano , estamos fixando o valor de e observando como varia com .
Passo 3
Substituindo na função, temos:
Isso nos dá a equação da curva de interseção no plano , que é .
Passo 4
Agora, para encontrar a inclinação da reta tangente nessa curva no ponto (4, 2), precisamos calcular a derivada de em relação a , ou seja, .
Passo 5
Vamos calcular a derivada de :
Passo 6
Agora, substituímos na derivada para encontrar a inclinação no ponto específico: