Determine a taxa de variação máxima da função em e a direção em que isso ocorre.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a taxa de variação máxima da função no ponto e a direção em que essa taxa ocorre. Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente envolvendo derivadas parciais e o gradiente da função. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de , encontrar o vetor gradiente no ponto , e depois determinar a magnitude desse vetor e sua direção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e .
  • A derivada parcial de em relação a ( ):
  • A derivada parcial de em relação a ( ):

Passo 3

Agora, vamos avaliar o vetor gradiente no ponto . O vetor gradiente é dado por:
Substituindo e :
Então, o vetor gradiente no ponto é:

Passo 4

A taxa de variação máxima da função no ponto é dada pela magnitude do vetor gradiente . Vamos calcular essa magnitude:

Passo 5

A direção em que ocorre a taxa de variação máxima é a direção do próprio vetor gradiente . Podemos expressar essa direção como um vetor unitário:
çã

Resposta

A taxa de variação máxima da função em é e ocorre na direção do vetor .

Exercícios relacionados

Determine o vetor gradiente da funçāo em e a derivada direcional em na direção do vetor .
e
Determine , para definida implicitamnte por:
Determine as curvas de nível e as interseçōes do gráfico da função com os planos yz e e faça um esboço do gráfico:
Determine o conjunto em que a função é contínua: