Determine a taxa de variação máxima da função em
e a direção em que isso ocorre.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a taxa de variação máxima da função
no ponto
e a direção em que essa taxa ocorre. Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente envolvendo derivadas parciais e o gradiente da função. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
, encontrar o vetor gradiente no ponto
, e depois determinar a magnitude desse vetor e sua direção.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
.
- A derivada parcial de
em relação a ( ):
- A derivada parcial de
em relação a ( ):
Passo 3
Agora, vamos avaliar o vetor gradiente
no ponto
. O vetor gradiente é dado por:
Substituindo
e
:
Então, o vetor gradiente no ponto
é:
Passo 4
A taxa de variação máxima da função no ponto
é dada pela magnitude do vetor gradiente
. Vamos calcular essa magnitude:
Passo 5
A direção em que ocorre a taxa de variação máxima é a direção do próprio vetor gradiente
. Podemos expressar essa direção como um vetor unitário:
Resposta
A taxa de variação máxima da função em
é
e ocorre na direção do vetor
.
Exercícios relacionados
Determine o vetor gradiente da funçāo em
e a derivada direcional em
na direção do vetor
.
e
Determine
, para
definida implicitamnte por:
Determine as curvas de nível e as interseçōes do gráfico da função com os planos yz e
e faça um esboço do gráfico:
Determine o conjunto em que a função é contínua: