Sejam
A=(ll 5 & 3 3 & 2 ), B=(ll 6 & 2 2 & 4 ), C=(rr 4 & -2 -6 & 3 )
(a) A X+B=C

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de álgebra linear onde precisamos resolver uma equação envolvendo matrizes. O enunciado nos dá três matrizes , e e pede para resolver a equação em relação à matriz . Para resolver isso, vamos precisar conhecer como manipular equações matriciais, como isolar e, se necessário, usar a inversa da matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que temos: . Nosso objetivo é encontrar a matriz que satisfaz essa equação. Para isolar , vamos precisar eliminar do lado esquerdo e depois eliminar que está multiplicando .

Passo 3

Vamos começar subtraindo a matriz A X + B - B = C - B de ambos os lados da equação para isolar o termo com A X = C - B . Assim:
Simplificando, temos:

Passo 4

Agora, para isolar A = 5 & 3 3 & 2 , precisamos “desfazer” a multiplicação pela matriz det(A) = (5)(2) - (3)(3) = 10 - 9 = 1 . Em álgebra linear, isso é feito multiplicando ambos os lados pela inversa de , desde que seja invertível. Vamos verificar se tem inversa calculando seu determinante.
A matriz é:
O determinante de é:
Como o determinante é diferente de zero, é invertível.

Passo 5

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação A^-1 A X = A^-1 (C - B) pela inversa de I X = A^-1 (C - B) , que denotamos por X = A^-1 (C - B) :
Como é a matriz identidade , a equação simplifica para:
E, assim, temos:

Passo 6

Vamos calcular C - B = 4 & -2 -6 & 3 - 6 & 2 2 & 4 = 4 - 6 & -2 - 2 -6 - 2 & 3 - 4 = -2 & -4 -8 & -1 :

Passo 7

Agora, vamos encontrar a inversa de A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a , a & b c & d . A fórmula para a inversa de uma matriz A = 5 & 3 3 & 2 Rightarrow a = 5, b = 3, c = 3, d = 2 é:
A^-1 = 11 2 & -3 -3 & 5 = 2 & -3 -3 & 5
Onde . No nosso caso:
Então:

Passo 8

Agora, vamos multiplicar X = A^-1 (C - B) = 2 & -3 -3 & 5 -2 & -4 -8 & -1 pela matriz X11 = (2)(-2) + (-3)(-8) = -4 + 24 = 20 :
X12 = (2)(-4) + (-3)(-1) = -8 + 3 = -5
Vamos realizar a multiplicação de matrizes:
X21 = (-3)(-2) + (5)(-8) = 6 - 40 = -34
X22 = (-3)(-4) + (5)(-1) = 12 - 5 = 7
X = 20 & -5 -34 & 7
Portanto, a matriz é:

Resposta

A solução para a matriz X = 20 & -5 -34 & 7 que satisfaz a equação é:

Exercícios relacionados