Sejam
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de álgebra linear onde precisamos resolver uma equação envolvendo matrizes. O enunciado nos dá três matrizes
,
e
e pede para resolver a equação
em relação à matriz
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como manipular equações matriciais, como isolar
e, se necessário, usar a inversa da matriz
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que temos:
. Nosso objetivo é encontrar a matriz
que satisfaz essa equação. Para isolar
, vamos precisar eliminar
do lado esquerdo e depois eliminar
que está multiplicando
.
Passo 3
Vamos começar subtraindo a matriz
de ambos os lados da equação para isolar o termo com
. Assim:
Simplificando, temos:
Passo 4
Agora, para isolar
, precisamos “desfazer” a multiplicação pela matriz
. Em álgebra linear, isso é feito multiplicando ambos os lados pela inversa de
, desde que
seja invertível. Vamos verificar se
tem inversa calculando seu determinante.
A matriz
é:
O determinante de
é:
Como o determinante é diferente de zero,
é invertível.
Passo 5
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação
pela inversa de
, que denotamos por
:
Como
é a matriz identidade
, a equação simplifica para:
E, assim, temos:
Passo 6
Vamos calcular
:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a inversa de
,
. A fórmula para a inversa de uma matriz
é:
Onde
. No nosso caso:
Então:
Passo 8
Agora, vamos multiplicar
pela matriz
:
Vamos realizar a multiplicação de matrizes:
Portanto, a matriz
é:
Resposta
A solução para a matriz
que satisfaz a equação
é: