Determine um conjunto de geradores para cada espaço vetorial a seguir.
d) V=(x, y, z, t) in R^4 mid x-y=0 e x+t=0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A questão pede para a gente determinar um conjunto de geradores para o espaço vetorial . Para isso, vamos precisar entender o que são geradores e como encontrar esses vetores que podem “gerar” todo o espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos entender as condições que definem o espaço . Temos duas equações:
Essas são equações lineares que relacionam as componentes dos vetores em . Nossa missão é encontrar todos os vetores que satisfazem essas equações.

Passo 3

Vamos resolver essas equações para expressar algumas variáveis em termos das outras. Começando com a primeira equação:
x - y = 0 implies x = y
Agora, a segunda equação:
x + t = 0 implies t = -x
Agora temos x = y e t = -y e em termos de :

Passo 4

Observe que não temos restrições sobre x = y . Isso significa que t = -y pode ser qualquer número real. Então, vamos considerar z = z e como variáveis livres, ou seja, elas podem assumir qualquer valor.
Agora, podemos expressar todas as componentes do vetor em termos de e :

Passo 5

Com isso, podemos escrever o vetor geral de (x, y, z, t) = (y, y, z, -y) da seguinte forma:
(x, y, z, t) = y cdot (1, 1, 0, -1) + z cdot (0, 0, 1, 0)
Agora, vamos separar os termos que dependem de e de :

Passo 6

Aqui, vemos que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e . Ou seja, esses dois vetores geram o espaço .

Resposta

Um conjunto de geradores para , (1,,1,,0,,-1),; (0,,0,,1,,0) , é dado pelos vetores

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