Determine um conjunto de geradores para cada espaço vetorial a seguir.
d)
e
;
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A questão pede para a gente determinar um conjunto de geradores para o espaço vetorial
. Para isso, vamos precisar entender o que são geradores e como encontrar esses vetores que podem “gerar” todo o espaço
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as condições que definem o espaço
. Temos duas equações:
Essas são equações lineares que relacionam as componentes dos vetores em
. Nossa missão é encontrar todos os vetores
que satisfazem essas equações.
Passo 3
Vamos resolver essas equações para expressar algumas variáveis em termos das outras. Começando com a primeira equação:
Agora, a segunda equação:
Agora temos
e
em termos de
:
Passo 4
Observe que não temos restrições sobre
. Isso significa que
pode ser qualquer número real. Então, vamos considerar
e
como variáveis livres, ou seja, elas podem assumir qualquer valor.
Agora, podemos expressar todas as componentes do vetor
em termos de
e
:
Passo 5
Com isso, podemos escrever o vetor geral de
da seguinte forma:
Agora, vamos separar os termos que dependem de
e de
:
Passo 6
Aqui, vemos que qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores
e
. Ou seja, esses dois vetores geram o espaço
.
Resposta
Um conjunto de geradores para
é dado pelos vetores