Suponha que
são vetores L.i. Mostre que:
são l.d.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois vetores,
e
, que são linearmente independentes (L.i.). O objetivo é mostrar que os vetores
e
são linearmente dependentes (l.d.). Para isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes ou dependentes e como podemos verificar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa vetores serem linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se encontrarmos uma combinação como
, então necessariamente
e
.
Passo 3
Agora, para mostrar que
e
são linearmente dependentes, precisamos encontrar coeficientes não nulos
e
tais que
. Se conseguirmos isso, significa que existe uma combinação linear não trivial que resulta em zero, provando a dependência linear.
Passo 4
Vamos substituir
e
nas equações:
Distribuindo os coeficientes:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Como
e
são linearmente independentes, os coeficientes de
e
devem ser zero:
Passo 6
Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Isso significa que qualquer valor de
satisfaz o sistema, desde que
. Escolhendo, por exemplo,
, temos
.
Resposta
Os vetores
e
são linearmente dependentes.