Suponha que a e b são vetores L.i. Mostre que:
u=a+3 ddotb e v=10 a+30 b são l.d.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois vetores, a e b, que são linearmente independentes (L.i.). O objetivo é mostrar que os vetores u = a + 3b e v = 10a + 30b são linearmente dependentes (l.d.). Para isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes ou dependentes e como podemos verificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa vetores serem linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se encontrarmos uma combinação como k1u + k2v = 0, então necessariamente k1 = 0 e k2 = 0.

Passo 3

Agora, para mostrar que u e v são linearmente dependentes, precisamos encontrar coeficientes não nulos k1 e k2 tais que k1u + k2v = 0. Se conseguirmos isso, significa que existe uma combinação linear não trivial que resulta em zero, provando a dependência linear.

Passo 4

Vamos substituir u e v nas equações:
k1(a + 3b) + k2(10a + 30b) = 0
Distribuindo os coeficientes:
k1a + 3k1b + 10k2a + 30k2b = 0
Agrupando os termos semelhantes:
(k1 + 10k2)a + (3k1 + 30k2)b = 0

Passo 5

Como a e b são linearmente independentes, os coeficientes de a e b devem ser zero:
k1 + 10k2 = 0 3k1 + 30k2 = 0

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação: k1 = -10k2
Substituindo na segunda equação:
3(-10k2) + 30k2 = -30k2 + 30k2 = 0
Isso significa que qualquer valor de k2 satisfaz o sistema, desde que k1 = -10k2. Escolhendo, por exemplo, k2 = 1, temos k1 = -10.

Resposta

Os vetores u e v são linearmente dependentes.

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