Sejam S1=[lx, y z, 0], x, y, z in R in M(2, 2)
e S2=[lla & b 0 & c], a, b, c in R subset M(2, 2)
Calcule s1+s2. É verdade que s1+s2=M(2,2)?
Esta soma é direta?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. Temos dois conjuntos de matrizes 2x2:
  • é o conjunto de matrizes onde a segunda entrada da segunda linha é sempre 0.
  • é o conjunto de matrizes onde a primeira entrada da segunda linha é sempre 0.
Queremos calcular a soma desses dois conjuntos, ou seja, , e verificar se essa soma resulta em todas as matrizes 2x2 possíveis ( ). Além disso, queremos saber se essa soma é direta, o que significa que a interseção entre e é apenas a matriz zero.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa somar dois conjuntos de matrizes e também o conceito de soma direta.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que significa S1 + S2 = A + B , | , A in S1, , B in S2 . A soma de dois conjuntos de matrizes é o conjunto de todas as matrizes que podemos obter somando uma matriz de com uma matriz de . Ou seja:
Vamos pegar uma matriz genérica de e uma de e somá-las.

Passo 3

Uma matriz qualquer em A = x & y z & 0 , x, y, z in R tem a forma:
B = a & b 0 & c , a, b, c in R
E uma matriz qualquer em A + B = x + a & y + b z + 0 & 0 + c = x + a & y + b z & c tem a forma:
Vamos somar e :

Passo 4

Agora, vamos analisar todas as possíveis matrizes que podemos obter dessa soma. Os elementos resultantes são:
Primeira entrada (1,1): x + a Primeira entrada (1,2): y + b Segunda entrada (2,1): z Segunda entrada (2,2): c
Como são todos números reais, podemos escolher qualquer valor para cada entrada da matriz resultante. Isso significa que qualquer matriz 2x2 real pode ser obtida dessa forma.

Passo 5

Para confirmar que , precisamos ver se qualquer matriz 2x2 pode ser escrita como a soma de uma matriz de com uma de . Pelo passo anterior, vimos que sim, pois conseguimos obter qualquer valor em cada posição da matriz.
Portanto, .

Passo 6

Agora, vamos verificar se essa soma é direta. Uma soma direta significa que a interseção entre x & y z & 0 e a & b 0 & c contém apenas a matriz zero.
Vamos encontrar a interseção x & y z & 0 = a & b 0 & c . Ou seja, queremos encontrar todas as matrizes que estão em x = a, y = b, z = 0, 0 = c e também em 0 & 0 0 & 0 .
Uma matriz em tem a forma:
E uma matriz em tem a forma:
Para que uma matriz esteja em ambos os conjuntos, devemos ter:
Comparando as entradas:
Dessa forma, a única solução é , , , e . Portanto, a única matriz na interseção é a matriz zero:

Resposta

Sim, e essa soma é direta.

Exercícios relacionados