Sejam
e
Calcule . É verdade que ?
Esta soma é direta?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. Temos dois conjuntos de matrizes 2x2:
é o conjunto de matrizes onde a segunda entrada da segunda linha é sempre 0.
é o conjunto de matrizes onde a primeira entrada da segunda linha é sempre 0.
Queremos calcular a soma desses dois conjuntos, ou seja, , e verificar se essa soma resulta em todas as matrizes 2x2 possíveis (). Além disso, queremos saber se essa soma é direta, o que significa que a interseção entre e é apenas a matriz zero.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa somar dois conjuntos de matrizes e também o conceito de soma direta.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que significa . A soma de dois conjuntos de matrizes é o conjunto de todas as matrizes que podemos obter somando uma matriz de com uma matriz de . Ou seja:
Vamos pegar uma matriz genérica de e uma de e somá-las.
Passo 3
Uma matriz qualquer em tem a forma:
E uma matriz qualquer em tem a forma:
Vamos somar e :
Passo 4
Agora, vamos analisar todas as possíveis matrizes que podemos obter dessa soma. Os elementos resultantes são:
Como são todos números reais, podemos escolher qualquer valor para cada entrada da matriz resultante. Isso significa que qualquer matriz 2x2 real pode ser obtida dessa forma.
Passo 5
Para confirmar que , precisamos ver se qualquer matriz 2x2 pode ser escrita como a soma de uma matriz de com uma de . Pelo passo anterior, vimos que sim, pois conseguimos obter qualquer valor em cada posição da matriz.
Portanto, .
Passo 6
Agora, vamos verificar se essa soma é direta. Uma soma direta significa que a interseção entre x & y z & 0 e a & b 0 & c contém apenas a matriz zero.
Vamos encontrar a interseção x & y z & 0 = a & b 0 & c . Ou seja, queremos encontrar todas as matrizes que estão em x = a, y = b, z = 0, 0 = c e também em 0 & 0 0 & 0 .
Uma matriz em tem a forma:
E uma matriz em tem a forma:
Para que uma matriz esteja em ambos os conjuntos, devemos ter:
Comparando as entradas:
Dessa forma, a única solução é , , , e . Portanto, a única matriz na interseção é a matriz zero: