Determine um conjunto de geradores para cada espaço vetorial a seguir.
f) e b=0.
Passo 1
Beleza! A gente tem que encontrar um conjunto de geradores para o espaço vetorial que é formado por matrizes com certas condições. O conteúdo aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e geradores. Vamos precisar entender o que são geradores e como as condições dadas ( e ) afetam as matrizes nesse espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever uma matriz genérica de a & b c & d . Sabemos que a & 0 c & d é composto por matrizes a & 0 c & a + c com as condições e . Então, podemos simplificar a matriz:
E como , substituímos:
Passo 3
Agora, vamos expressar essa matriz em termos de a 1 & 0 0 & 1 + c 0 & 0 1 & 1 e 1 & 0 0 & 1 :
0 & 0 1 & 1
Isso mostra que qualquer matriz em pode ser escrita como uma combinação linear das matrizes e .
Passo 4
Para confirmar que essas duas matrizes são de fato geradoras, precisamos garantir que elas são linearmente independentes. Ou seja, a única solução para 1 & 0 0 & 1 é 0 & 0 1 & 1 e 0 & 0 0 & 0 . Isso é verdade, já que nenhuma combinação não-trivial dessas matrizes resulta na matriz zero.
Resposta
Então, um conjunto de geradores para 1 & 0 0 & 1 , 0 & 0 1 & 1 é: