Sejam u=(1,2,-1) e v=(0,-1,3). Determine a área do paralelogramo determinado pelos vetores 3 u e v-u.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área de um paralelogramo que é formado por dois vetores dados: e . Aqui, estamos trabalhando com vetores e a geometria vetorial. Para resolver isso, vamos precisar calcular o produto vetorial desses dois vetores e depois encontrar a magnitude desse resultado, que nos dará a área do paralelogramo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores que vão formar o paralelogramo. Temos:
u = (1, 2, -1) e v = (0, -1, 3)
Precisamos calcular e .

Passo 3

Calculando 3u = 3 times (1, 2, -1) = (3 times 1, 3 times 2, 3 times -1) = (3, 6, -3) :

Passo 4

Agora, calculando v - u = (0 - 1, -1 - 2, 3 - (-1)) = (-1, -3, 4) :

Passo 5

Agora que temos os dois vetores que formam o paralelogramo, ou seja, a times b = i & j & k a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3 e , vamos calcular o produto vetorial deles. O produto vetorial de dois vetores e é dado por:
Isso significa que vamos montar uma matriz com os componentes dos vetores e calcular o determinante.

Passo 6

Vamos calcular o produto vetorial a times b = i & j & k 3 & 6 & -3 -1 & -3 & 4 :
a times b = i(6 times 4 - (-3) times (-3)) - j(3 times 4 - (-3) times (-1)) + k(3 times (-3) - 6 times (-1))
Calculando o determinante:
a times b = i(24 - 9) - j(12 - 3) + k(-9 + 6) = i(15) - j(9) + k(-3)
Simplificando cada termo:
a times b = (15, -9, -3)
Então,

Passo 7

Agora, para achar a área do paralelogramo, precisamos calcular a magnitude do vetor resultante do produto vetorial. A magnitude de um vetor ||c|| = raizc1^2 + c2^2 + c3^2 é dada por:
||a times b|| = raiz15^2 + (-9)^2 + (-3)^2 = raiz225 + 81 + 9 = raiz315
Aplicando isso ao nosso vetor raiz315 approx 17,75 :
Podemos simplificar para , mas vamos manter em forma decimal para facilitar.

Resposta

A área do paralelogramo determinado pelos vetores e é aproximadamente 17,75 unidades de área.

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