Sejam e . Determine a área do paralelogramo determinado pelos vetores .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área de um paralelogramo que é formado por dois vetores dados: e . Aqui, estamos trabalhando com vetores e a geometria vetorial. Para resolver isso, vamos precisar calcular o produto vetorial desses dois vetores e depois encontrar a magnitude desse resultado, que nos dará a área do paralelogramo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores que vão formar o paralelogramo. Temos:
Precisamos calcular e .
Passo 3
Calculando :
Passo 4
Agora, calculando :
Passo 5
Agora que temos os dois vetores que formam o paralelogramo, ou seja, e , vamos calcular o produto vetorial deles. O produto vetorial de dois vetores e é dado por:
Isso significa que vamos montar uma matriz com os componentes dos vetores e calcular o determinante.
Passo 6
Vamos calcular o produto vetorial a times b = i & j & k 3 & 6 & -3 -1 & -3 & 4 :
a times b = i(6 times 4 - (-3) times (-3)) - j(3 times 4 - (-3) times (-1)) + k(3 times (-3) - 6 times (-1))
Calculando o determinante:
a times b = i(24 - 9) - j(12 - 3) + k(-9 + 6) = i(15) - j(9) + k(-3)
Simplificando cada termo:
a times b = (15, -9, -3)
Então,
Passo 7
Agora, para achar a área do paralelogramo, precisamos calcular a magnitude do vetor resultante do produto vetorial. A magnitude de um vetor ||c|| = raizc1^2 + c2^2 + c3^2 é dada por: