Sejam e . Determine a área do paralelogramo determinado pelos vetores .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área de um paralelogramo que é formado por dois vetores dados: e . Aqui, estamos trabalhando com vetores e a geometria vetorial. Para resolver isso, vamos precisar calcular o produto vetorial desses dois vetores e depois encontrar a magnitude desse resultado, que nos dará a área do paralelogramo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores que vão formar o paralelogramo. Temos:
Precisamos calcular e .
Passo 3
Calculando :
Passo 4
Agora, calculando :
Passo 5
Agora que temos os dois vetores que formam o paralelogramo, ou seja, e , vamos calcular o produto vetorial deles. O produto vetorial de dois vetores e é dado por:
Isso significa que vamos montar uma matriz com os componentes dos vetores e calcular o determinante.
Passo 6
Vamos calcular o produto vetorial :
Calculando o determinante:
Simplificando cada termo:
Então,
Passo 7
Agora, para achar a área do paralelogramo, precisamos calcular a magnitude do vetor resultante do produto vetorial. A magnitude de um vetor é dada por:
Aplicando isso ao nosso vetor :
Podemos simplificar para , mas vamos manter em forma decimal para facilitar.
Resposta
A área do paralelogramo determinado pelos vetores e é aproximadamente 17,75 unidades de área.