Sejam e . Determine a área do paralelogramo determinado pelos vetores .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área de um paralelogramo que é formado por dois vetores dados: e . Aqui, estamos trabalhando com vetores e a geometria vetorial. Para resolver isso, vamos precisar calcular o produto vetorial desses dois vetores e depois encontrar a magnitude desse resultado, que nos dará a área do paralelogramo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores que vão formar o paralelogramo. Temos:
Precisamos calcular e .

Passo 3

Calculando :

Passo 4

Agora, calculando :

Passo 5

Agora que temos os dois vetores que formam o paralelogramo, ou seja, e , vamos calcular o produto vetorial deles. O produto vetorial de dois vetores e é dado por:
Isso significa que vamos montar uma matriz com os componentes dos vetores e calcular o determinante.

Passo 6

Vamos calcular o produto vetorial :
Calculando o determinante:
Simplificando cada termo:
Então,

Passo 7

Agora, para achar a área do paralelogramo, precisamos calcular a magnitude do vetor resultante do produto vetorial. A magnitude de um vetor é dada por:
Aplicando isso ao nosso vetor :
Podemos simplificar para , mas vamos manter em forma decimal para facilitar.

Resposta

A área do paralelogramo determinado pelos vetores e é aproximadamente 17,75 unidades de área.

Exercícios relacionados

Determine um conjunto de geradores para cada espaço vetorial a seguir.
f) e .
Suponha um sistema de coordenadas ortogonais. Considere o ponto e o vetor .
(a) Determine as coordenadas de B , sendo
Verificar se é soma direta dos subespaços e , sendo:
b) e .
Seja uma base de e uma matriz tal que
Se , então:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei