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Em cada parte, determine se a expressão matricial dada está definida. Para as que estão definidas, dê o tamanho da matriz resultante.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(g)
(h)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(g)
(h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem cinco matrizes:
,
,
,
e
, com as dimensões dadas na tabela. Nosso objetivo é, para cada expressão dada, verificar se ela está definida. Se estiver, a gente também vai descobrir qual é o tamanho da matriz resultante. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre como funciona a multiplicação e a soma de matrizes, além de transposição. Vamos lá!
Passo 2
(a)
Multiplicação de Matrizes: Para multiplicar duas matrizes, o número de colunas da primeira matriz precisa ser igual ao número de linhas da segunda. O resultado será uma nova matriz com o número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda.
- Dimensões:
-
é -
é
-
Como o número de colunas de
(3) é igual ao número de linhas de
(3), a multiplicação está definida.
Matriz Resultante:
Passo 3
(b)
Transposição de Matrizes:
significa a transposição de
, ou seja, as linhas e colunas de
são trocadas.
- Dimensões:
-
é , então é -
é
-
Para multiplicar
(
) por
(
), precisamos que o número de colunas de
(1) seja igual ao número de linhas de
(6). Isso não acontece, então a multiplicação não está definida.
Passo 4
©
Primeiro, vamos resolver a parte dentro dos parênteses:
.
Transposição de
:
-
é , então é
Soma de Matrizes: Para somar duas matrizes, elas precisam ter as mesmas dimensões.
-
é -
é
Como as dimensões são iguais, a soma está definida. O resultado será uma matriz
.
Agora, vamos multiplicar
por
.
-
é -
é
O número de colunas de
(3) é igual ao número de linhas de
(3), então a multiplicação está definida.
Matriz Resultante:
Passo 5
(d)
Multiplicação por Escalar: Multiplicar uma matriz por um número (escalar) não altera suas dimensões.
-
mantém as mesmas dimensões de , que são -
é
Para somar
e
, as matrizes precisam ter as mesmas dimensões. Aqui,
é
e
é
, então a soma não está definida.
Passo 6
(e)
Primeiro, vamos resolver
.
Transposição de
:
-
é , então é
Soma de Matrizes:
-
é -
é
As dimensões são iguais, então a soma está definida. O resultado será uma matriz
.
Agora, vamos multiplicar
por
.
-
é -
é
O número de colunas de
(6) é igual ao número de linhas de
(6), então a multiplicação está definida.
Matriz Resultante:
Passo 7
(g)
Primeiro, vamos multiplicar
por
.
Transposição de
:
-
é , então é
Multiplicação de Matrizes:
-
é -
é
O número de colunas de
(6) é igual ao número de linhas de
(6), então a multiplicação está definida. O resultado será uma matriz
.
Agora, vamos multiplicar
por
.
-
é -
é
O número de colunas de
(2) é igual ao número de linhas de
(2), então a multiplicação está definida.
Matriz Resultante:
Passo 8
(h)
Primeiro, vamos resolver cada parte:
Multiplicação de
e
:
-
é -
é
O número de colunas de
(6) é igual ao número de linhas de
(6), então a multiplicação está definida. O resultado será uma matriz
.
Multiplicação de
e
:
-
é -
é
O número de colunas de
(3) é igual ao número de linhas de
(3), então a multiplicação está definida. O resultado será uma matriz
.
Soma de Matrizes:
-
é -
é
As dimensões são diferentes, então a soma não está definida.
Passo 9
Recapitulando as Partes
Vamos resumir o que vimos em cada parte:
- (a)
está definida. Tamanho: - (b)
não está definida. - ©
está definida. Tamanho: - (d)
não está definida. - (e)
está definida. Tamanho: - (g)
está definida. Tamanho: - (h)
não está definida.
Resposta
Após analisar cada expressão:
- (a)
está definida. Tamanho da matriz resultante: - (b)
não está definida. - ©
está definida. Tamanho da matriz resultante: - (d)
não está definida. - (e)
está definida. Tamanho da matriz resultante: - (g)
está definida. Tamanho da matriz resultante: - (h)
não está definida.
Exercícios relacionados
(a) Encontre um vetor
não nulo , ortogonal ao plano
que contém os pontos
e contendo P .
Sabe-se que
e
, com w ortogonal a
e
. Determine
ortogonal tal que
.
Suponha um sistema de coordenadas ortogonais. Considere o ponto
e o vetor
.
(a) Determine as coordenadas de B , sendo
(a) Determine as coordenadas de B , sendo
Determine um conjunto de geradores para cada espaço vetorial a seguir.
f) e
.
f)