Em cada parte, determine se a expressão matricial dada está definida. Para as que estão definidas, dê o tamanho da matriz resultante.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(g)
(h)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem cinco matrizes: , , , e , com as dimensões dadas na tabela. Nosso objetivo é, para cada expressão dada, verificar se ela está definida. Se estiver, a gente também vai descobrir qual é o tamanho da matriz resultante. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre como funciona a multiplicação e a soma de matrizes, além de transposição. Vamos lá!

Passo 2

(a)

Multiplicação de Matrizes: Para multiplicar duas matrizes, o número de colunas da primeira matriz precisa ser igual ao número de linhas da segunda. O resultado será uma nova matriz com o número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda.
  • Dimensões:
    • é
    • é
Como o número de colunas de (3) é igual ao número de linhas de (3), a multiplicação está definida.
Matriz Resultante:

Passo 3

(b)

Transposição de Matrizes: significa a transposição de , ou seja, as linhas e colunas de são trocadas.
  • Dimensões:
    • é , então é
    • é
Para multiplicar ( ) por ( ), precisamos que o número de colunas de (1) seja igual ao número de linhas de (6). Isso não acontece, então a multiplicação não está definida.

Passo 4

©

Primeiro, vamos resolver a parte dentro dos parênteses: .
Transposição de :
  • é , então é
Soma de Matrizes: Para somar duas matrizes, elas precisam ter as mesmas dimensões.
  • é
  • é
Como as dimensões são iguais, a soma está definida. O resultado será uma matriz .
Agora, vamos multiplicar por .
  • é
  • é
O número de colunas de (3) é igual ao número de linhas de (3), então a multiplicação está definida.
Matriz Resultante:

Passo 5

(d)

Multiplicação por Escalar: Multiplicar uma matriz por um número (escalar) não altera suas dimensões.
  • mantém as mesmas dimensões de , que são
  • é
Para somar e , as matrizes precisam ter as mesmas dimensões. Aqui, é e é , então a soma não está definida.

Passo 6

(e)

Primeiro, vamos resolver .
Transposição de :
  • é , então é
Soma de Matrizes:
  • é
  • é
As dimensões são iguais, então a soma está definida. O resultado será uma matriz .
Agora, vamos multiplicar por .
  • é
  • é
O número de colunas de (6) é igual ao número de linhas de (6), então a multiplicação está definida.
Matriz Resultante:

Passo 7

(g)

Primeiro, vamos multiplicar por .
Transposição de :
  • é , então é
Multiplicação de Matrizes:
  • é
  • é
O número de colunas de (6) é igual ao número de linhas de (6), então a multiplicação está definida. O resultado será uma matriz .
Agora, vamos multiplicar por .
  • é
  • é
O número de colunas de (2) é igual ao número de linhas de (2), então a multiplicação está definida.
Matriz Resultante:

Passo 8

(h)

Primeiro, vamos resolver cada parte:
Multiplicação de e :
  • é
  • é
O número de colunas de (6) é igual ao número de linhas de (6), então a multiplicação está definida. O resultado será uma matriz .
Multiplicação de e :
  • é
  • é
O número de colunas de (3) é igual ao número de linhas de (3), então a multiplicação está definida. O resultado será uma matriz .
Soma de Matrizes:
  • é
  • é
As dimensões são diferentes, então a soma não está definida.

Passo 9

Recapitulando as Partes

Vamos resumir o que vimos em cada parte:
  • (a) está definida. Tamanho:
  • (b) não está definida.
  • © está definida. Tamanho:
  • (d) não está definida.
  • (e) está definida. Tamanho:
  • (g) está definida. Tamanho:
  • (h) não está definida.

Resposta

Após analisar cada expressão:
  • (a) está definida. Tamanho da matriz resultante:
  • (b) não está definida.
  • © está definida. Tamanho da matriz resultante:
  • (d) não está definida.
  • (e) está definida. Tamanho da matriz resultante:
  • (g) está definida. Tamanho da matriz resultante:
  • (h) não está definida.

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