Discutar os sistemas de equações lineares abaixo indicados de acordo com o(s) valor(es) do(s) parâmetro(s).
2.9-2 y+z & =1 m x-3 y+m z & =0 m x-2 y & =2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações lineares com um parâmetro . Nosso objetivo é analisar como o sistema se comporta dependendo do valor de . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e condições de existência e unicidade das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
-2y + z = 1 mx - 3y + mz = 0 mx - 2y = 2
Nosso próximo passo é representar esse sistema na forma matricial , onde é a matriz dos coeficientes, é o vetor das incógnitas, e é o vetor dos termos independentes.

Passo 3

Identificando as matrizes, temos:
A = 0 & -2 & 1 m & -3 & m m & -2 & 0 , x = x y z , b = 1 0 2
Para determinar as condições sobre , vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes .

Passo 4

Calculando o determinante de det(A) = 0 cdot -3 & m -2 & 0 - (-2) cdot m & m m & 0 + 1 cdot m & -3 m & -2 :
-3 & m -2 & 0
Vamos resolver cada menor:
  1. m & m m & 0
  2. m & -3 m & -2
  3. det(A) = 0 cdot 2m - (-2)(-m^2) + 1 cdot m = 0 - 2m^2 + m = -2m^2 + m
Substituindo de volta:

Passo 5

Agora, analisamos o determinante:
  • Se -2m^2 + m = 0 m(-2m + 1) = 0 Rightarrow m = 0 ou m = 12 , o sistema tem uma solução única.
  • Se , precisamos verificar se o sistema é compatível ou não, podendo ter infinitas soluções ou nenhuma.
Vamos resolver :

Passo 6

Então, temos três casos:
  1. e : , sistema tem solução única.
  2. : Calculamos o sistema e verificamos a consistência.
  3. : Novamente, avaliamos a consistência do sistema.

Passo 7

Caso 1: -2y + z = 1 0x - 3y + 0z = 0 0x - 2y = 2 e -2y + z = 1 -3y = 0 -2y = 2
Como -2y + z = 1 12x - 3y + 12z = 0 12x - 2y = 2 , o sistema possui uma solução única, ou seja, é compatível e determinado.
Caso 2: 12x - 3y + 12(1 + 2y) = 0 12x - 3y + 12 + y = 0 12x - 2y + 12 = 0 12x - 2y = -12 (1)
Substituindo 12x - 2y = 2 (2) no sistema:
12x - 2y = -12 12x - 2y = 2
Simplificando:
Da segunda equação, . Substituindo na terceira equação: que dá , o que é impossível. Então, o sistema é inconsistente.
Caso 3:
Substituindo no sistema:
Vamos resolver essas equações.
Primeiro, da primeira equação: .
Substituímos na segunda equação:
Da terceira equação:
Comparando as equações (1) e (2):
Isso implica que , o que é impossível. Portanto, o sistema também é inconsistente para .

Resposta

  • Para e , o sistema possui uma solução única.
  • Para e , o sistema é inconsistente e não possui solução.

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