Discutar os sistemas de equações lineares abaixo indicados de acordo com o(s) valor(es) do(s) parâmetro(s).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações lineares com um parâmetro . Nosso objetivo é analisar como o sistema se comporta dependendo do valor de . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e condições de existência e unicidade das soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
-2y + z = 1 mx - 3y + mz = 0 mx - 2y = 2
Nosso próximo passo é representar esse sistema na forma matricial , onde é a matriz dos coeficientes, é o vetor das incógnitas, e é o vetor dos termos independentes.
Passo 3
Identificando as matrizes, temos:
A = 0 & -2 & 1 m & -3 & m m & -2 & 0 , x = x y z , b = 1 0 2
Para determinar as condições sobre , vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes .
Passo 4
Calculando o determinante de det(A) = 0 cdot -3 & m -2 & 0 - (-2) cdot m & m m & 0 + 1 cdot m & -3 m & -2 :
-3 & m -2 & 0
Vamos resolver cada menor:
m & m m & 0
m & -3 m & -2
det(A) = 0 cdot 2m - (-2)(-m^2) + 1 cdot m = 0 - 2m^2 + m = -2m^2 + m
Substituindo de volta:
Passo 5
Agora, analisamos o determinante:
Se -2m^2 + m = 0 m(-2m + 1) = 0 Rightarrow m = 0 ou m = 12 , o sistema tem uma solução única.
Se , precisamos verificar se o sistema é compatível ou não, podendo ter infinitas soluções ou nenhuma.
Vamos resolver :
Passo 6
Então, temos três casos:
e : , sistema tem solução única.
: Calculamos o sistema e verificamos a consistência.
: Novamente, avaliamos a consistência do sistema.
Passo 7
Caso 1: -2y + z = 1 0x - 3y + 0z = 0 0x - 2y = 2 e -2y + z = 1 -3y = 0 -2y = 2
Como -2y + z = 1 12x - 3y + 12z = 0 12x - 2y = 2 , o sistema possui uma solução única, ou seja, é compatível e determinado.