Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! Temos três equações com quatro variáveis: , , e . Nosso objetivo é encontrar os valores dessas variáveis que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos usar o método de eliminação, que ajuda a simplificar o sistema passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações para facilitar:
x - y - z - t = 0 (1) 3x - y + 2z - 4t = 0 (2) 2y + 5z + t = 0 (3)
Passo 3
Vamos começar eliminando uma das variáveis. Olhando para as equações (1) e (2), percebemos que eliminar 3x - 3y - 3z - 3t = 0 (1a) pode ser uma boa ideia. Para isso, vamos multiplicar a equação (1) por 3 e subtrair da equação (2):
Multiplicando a equação (1) por 3:
(3x - y + 2z - 4t) - (3x - 3y - 3z - 3t) = 0 - 0
Subtraindo a equação (1a) da equação (2):
2y + 5z - t = 0 (4)
Simplificando:
Passo 4
Agora, temos duas equações com 2y + 5z - t = 0 (4) 2y + 5z + t = 0 (3) , (2y + 5z + t) - (2y + 5z - t) = 0 - 0 e 2t = 0 implies t = 0 :
Vamos subtrair a equação (4) da equação (3):
Isso resulta em:
Passo 5
Com 2y + 5z - 0 = 0 implies 2y + 5z = 0 , vamos substituir esse valor na equação (4):
2y = -5z implies y = -52z
Podemos resolver para :
Passo 6
Agora, vamos substituir x - (-52z) - z - 0 = 0 implies x + 52z - z = 0 e x + 32z = 0 implies x = -32z na equação (1):
Simplificando:
Passo 7
Até aqui, expressamos x = -32lambda, y = -52lambda, z = lambda, t = 0 e em termos de , e encontramos que . Como temos quatro variáveis mas apenas três equações, podemos atribuir um valor livre a uma das variáveis. Vamos escolher como parâmetro livre, digamos , onde pode ser qualquer número real.
Então, temos:
Resposta
A solução geral do sistema é:
x = -dfrac32 lambda y = -dfrac52 lambda z = lambda t = 0