Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
(a) e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente encontrar um conjunto de geradores para um subespaço em definido por e . Basicamente, vamos trabalhar com vetores que satisfazem essas condições. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e como encontrar geradores para ele.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um subespaço vetorial é um conjunto de vetores que, além de conter o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar. No nosso caso, é um subespaço de porque satisfaz essas propriedades.
Passo 3
Agora, vamos analisar as condições dadas: e . Isso significa que qualquer vetor em tem a forma . Podemos fatorar o de fora para facilitar:
Passo 4
Perceba que todo vetor em é um múltiplo escalar do vetor . Isso indica que o conjunto pode gerar todo o subespaço .
Passo 5
Para confirmar isso, vamos ver se qualquer vetor em pode ser obtido através de combinações lineares dos vetores no nosso conjunto de geradores. Como temos apenas um vetor , qualquer vetor em é dessa forma: