Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
(a) e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente encontrar um conjunto de geradores para um subespaço em definido por e . Basicamente, vamos trabalhar com vetores que satisfazem essas condições. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e como encontrar geradores para ele.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um subespaço vetorial é um conjunto de vetores que, além de conter o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar. No nosso caso, é um subespaço de porque satisfaz essas propriedades.

Passo 3

Agora, vamos analisar as condições dadas: e . Isso significa que qualquer vetor em tem a forma . Podemos fatorar o de fora para facilitar:

Passo 4

Perceba que todo vetor em é um múltiplo escalar do vetor . Isso indica que o conjunto pode gerar todo o subespaço .

Passo 5

Para confirmar isso, vamos ver se qualquer vetor em pode ser obtido através de combinações lineares dos vetores no nosso conjunto de geradores. Como temos apenas um vetor , qualquer vetor em é dessa forma:
Isso cobre todos os vetores que satisfazem e .

Resposta

Um conjunto de geradores para é .

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Reduza as matrizes abaixo à forma escada e calcule seu posto e a sua nulidade.
а)
Verifique quais das funções abaixo são lineares. .
Verifique quais das funções abaixo são lineares. , onde .
Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
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