Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
(a)
e
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente encontrar um conjunto de geradores para um subespaço
em
definido por
e
. Basicamente, vamos trabalhar com vetores que satisfazem essas condições. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e como encontrar geradores para ele.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um subespaço vetorial é um conjunto de vetores que, além de conter o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar. No nosso caso,
é um subespaço de
porque satisfaz essas propriedades.
Passo 3
Agora, vamos analisar as condições dadas:
e
. Isso significa que qualquer vetor em
tem a forma
. Podemos fatorar o
de fora para facilitar:
Passo 4
Perceba que todo vetor em
é um múltiplo escalar do vetor
. Isso indica que o conjunto
pode gerar todo o subespaço
.
Passo 5
Para confirmar isso, vamos ver se qualquer vetor em
pode ser obtido através de combinações lineares dos vetores no nosso conjunto de geradores. Como temos apenas um vetor
, qualquer vetor em
é dessa forma:
Isso cobre todos os vetores que satisfazem
e
.
Resposta
Um conjunto de geradores para
é
.