Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
(d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos um conjunto de geradores para o subespaço . Isso está no contexto de álgebra linear, onde buscamos vetores (neste caso, polinômios) que, combinados de forma linear, conseguem gerar qualquer elemento do subespaço. Para resolver, vamos identificar polinômios básicos que, quando multiplicados por escalares e somados, dão exatamente qualquer polinômio da forma .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a estrutura dos polinômios no conjunto . Cada polinômio tem a forma , onde e são números reais. Podemos reescrever isso agrupando os termos com e o termo constante :

Passo 3

Agora, observamos que qualquer polinômio em é uma combinação linear dos polinômios e . Ou seja, se tomarmos e como nossos “blocos de construção”, podemos gerar qualquer polinômio de ajustando os coeficientes e .

Passo 4

Então, para formar um conjunto de geradores para , basta escolher esses dois polinômios:
Com eles, qualquer elemento de pode ser obtido multiplicando por e por , e somando os resultados.

Resposta

Um conjunto de geradores para é .

Exercícios relacionados

Determine o subespaço do espaço , gerado pelos vetores de , em cada caso.
(a) .
Determine os valores reais de , em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha: (i) uma única solução; (ii) infinitas soluções; (iii) nenhuma solução:
Seja , ç e assuma que seja uma norma induzida por , as seguintes igualdades:
(Identidade do Paralelogramo) ;
Seja a reta
(e) Escrever a reta perpendicular á r na forma cartesiana