Determine os valores reais de , em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha: (i) uma única solução; (ii) infinitas soluções; (iii) nenhuma solução:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares pra achar os valores de que fazem o sistema ter uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre sistemas lineares e como a determinante da matriz dos coeficientes influencia nas soluções. Vamos precisar calcular o determinante dessa matriz para saber qual caso ocorre.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema:
k & 1 & 1 1 & k & 1 1 & 1 & k
Essa matriz vai nos ajudar a entender quando o sistema tem solução única, infinitas ou nenhuma solução.
Passo 3
Para saber quantas soluções o sistema tem, a gente calcula o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Se for igual a zero, pode ter infinitas soluções ou nenhuma, dependendo das outras equações.
Passo 4
Vamos calcular o determinante da matriz:
det(A) = k(k cdot k - 1 cdot 1) - 1(1 cdot k - 1 cdot 1) + 1(1 cdot 1 - k cdot 1)
Simplificando:
det(A) = k(k^2 - 1) - 1(k - 1) + 1(1 - k)
det(A) = k^3 - k - k + 1 + 1 - k
det(A) = k^3 - 3k + 2
Passo 5
Agora, vamos resolver k^3 - 3k + 2 = 0 para encontrar os valores críticos de (1)^3 - 3(1) + 2 = 0 :
(k - 1)(k^2 + k - 2) = 0
Vamos fatorar essa equação. Testando valores, vemos que (k - 1)(k + 2)(k - 1) = 0 é uma solução:
Então, fatorando:
Agora, fatoramos o segundo termo:
Então, os valores de são e .
Passo 6
Agora, vamos analisar cada caso:
Determinante diferente de zero ( e ): O sistema tem uma única solução.
Determinante igual a zero ( ou ):
Para , substituindo no sistema, todas as equações ficam iguais, indicando infinitas soluções.
Para , substituindo no sistema, descobrimos que não há solução que satisfaça todas as equações simultaneamente.
Resposta
(i) O sistema tem uma única solução para todo tal que e .