Determine os valores reais de , em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha: (i) uma única solução; (ii) infinitas soluções; (iii) nenhuma solução:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares pra achar os valores de que fazem o sistema ter uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre sistemas lineares e como a determinante da matriz dos coeficientes influencia nas soluções. Vamos precisar calcular o determinante dessa matriz para saber qual caso ocorre.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema:
Essa matriz vai nos ajudar a entender quando o sistema tem solução única, infinitas ou nenhuma solução.
Passo 3
Para saber quantas soluções o sistema tem, a gente calcula o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Se for igual a zero, pode ter infinitas soluções ou nenhuma, dependendo das outras equações.
Passo 4
Vamos calcular o determinante da matriz:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos resolver para encontrar os valores críticos de :
Vamos fatorar essa equação. Testando valores, vemos que é uma solução:
Então, fatorando:
Agora, fatoramos o segundo termo:
Então, os valores de são e .
Passo 6
Agora, vamos analisar cada caso:
Determinante diferente de zero ( e ): O sistema tem uma única solução.
Determinante igual a zero ( ou ):
Para , substituindo no sistema, todas as equações ficam iguais, indicando infinitas soluções.
Para , substituindo no sistema, descobrimos que não há solução que satisfaça todas as equações simultaneamente.
Resposta
(i) O sistema tem uma única solução para todo tal que e .