Determine os valores reais de , em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha: (i) uma única solução; (ii) infinitas soluções; (iii) nenhuma solução:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares pra achar os valores de que fazem o sistema ter uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre sistemas lineares e como a determinante da matriz dos coeficientes influencia nas soluções. Vamos precisar calcular o determinante dessa matriz para saber qual caso ocorre.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema:
Essa matriz vai nos ajudar a entender quando o sistema tem solução única, infinitas ou nenhuma solução.

Passo 3

Para saber quantas soluções o sistema tem, a gente calcula o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Se for igual a zero, pode ter infinitas soluções ou nenhuma, dependendo das outras equações.

Passo 4

Vamos calcular o determinante da matriz:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos resolver para encontrar os valores críticos de :
Vamos fatorar essa equação. Testando valores, vemos que é uma solução:
Então, fatorando:
Agora, fatoramos o segundo termo:
Então, os valores de são e .

Passo 6

Agora, vamos analisar cada caso:
  1. Determinante diferente de zero ( e ): O sistema tem uma única solução.
  2. Determinante igual a zero ( ou ):
    • Para , substituindo no sistema, todas as equações ficam iguais, indicando infinitas soluções.
    • Para , substituindo no sistema, descobrimos que não há solução que satisfaça todas as equações simultaneamente.

Resposta

(i) O sistema tem uma única solução para todo tal que e .
(ii) O sistema tem infinitas soluções quando .
(iii) O sistema não tem solução quando .

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Seja a reta
© Fornecer 3 pontos da reta .
Determine os valores reais de , em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha: (i) uma única solução; (ii) infinitas soluções; (iii) nenhuma solução:
Determine o subespaço do espaço , gerado pelos vetores de , em cada caso.
(a) .
Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
(d)