Seja , ç e assuma que seja uma norma induzida por , as seguintes igualdades:
(Identidade do Paralelogramo) ;

Passo 1

Então, a gente tem um espaço vetorial chamado com um produto interno . A norma nesse espaço é definida por esse produto interno. O exercício quer que a gente mostre a Identidade do Paralelogramo, que relaciona as normas de , , e . Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades do produto interno e da norma que ele induz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a norma está ligada ao produto interno. A norma de um vetor é dada por:
Então, ao quadrado, temos:
Isso vai ser útil para simplificar as expressões.

Passo 3

Vamos começar expandindo . Usando a definição da norma:
Agora, aplicando a propriedade distributiva do produto interno:
Como o produto interno é comutativo, , então:

Passo 4

Agora, vamos expandir de forma similar:
Expandindo:
Novamente, usando a comutatividade:

Passo 5

Agora, vamos somar e :
Simplificando:
Os termos e se cancelam.

Resposta

Assim, mostramos que:

Exercícios relacionados

Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
(d)
Determine o subespaço do espaço , gerado pelos vetores de , em cada caso.
(a) .
Seja a reta
(e) Escrever a reta perpendicular á r na forma cartesiana
Seja |・| uma norma no espaço vetorial . Mostre que
para todos .