Seja lang<=, rang<= um produto interno no espaço vetorial Vç e assuma que |cdot| seja uma norma induzida por lang<=, rang<= Mostre as seguintes igualdades:
(Identidade do Paralelogramo) |u+v|^2+|u-v|^2=2|u|+2|v|^2;

Passo 1

Então, a gente tem um espaço vetorial chamado com um produto interno . A norma nesse espaço é definida por esse produto interno. O exercício quer que a gente mostre a Identidade do Paralelogramo, que relaciona as normas de , , e . Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades do produto interno e da norma que ele induz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a norma está ligada ao produto interno. A norma de um vetor |u| = raizlang<= u, u rang<= é dada por:
|u|^2 = lang<= u, u rang<=
Então, ao quadrado, temos:
Isso vai ser útil para simplificar as expressões.

Passo 3

Vamos começar expandindo |u + v|^2 = lang<= u + v, u + v rang<= . Usando a definição da norma:
|u + v|^2 = lang<= u, u rang<= + lang<= u, v rang<= + lang<= v, u rang<= + lang<= v, v rang<=
Agora, aplicando a propriedade distributiva do produto interno:
|u + v|^2 = |u|^2 + 2lang<= u, v rang<= + |v|^2
Como o produto interno é comutativo, , então:

Passo 4

Agora, vamos expandir |u - v|^2 = lang<= u - v, u - v rang<= de forma similar:
|u - v|^2 = lang<= u, u rang<= - lang<= u, v rang<= - lang<= v, u rang<= + lang<= v, v rang<=
Expandindo:
|u - v|^2 = |u|^2 - 2lang<= u, v rang<= + |v|^2
Novamente, usando a comutatividade:

Passo 5

Agora, vamos somar |u + v|^2 + |u - v|^2 = (|u|^2 + 2lang<= u, v rang<= + |v|^2) + (|u|^2 - 2lang<= u, v rang<= + |v|^2) e |u + v|^2 + |u - v|^2 = 2|u|^2 + 2|v|^2 :
Simplificando:
Os termos e se cancelam.

Resposta

Assim, mostramos que:
|u + v|^2 + |u - v|^2 = 2|u|^2 + 2|v|^2

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