Seja
,
e assuma que
seja uma norma induzida por
,
as seguintes igualdades:
(Identidade do Paralelogramo)
;
(Identidade do Paralelogramo)
Passo 1
Então, a gente tem um espaço vetorial chamado
com um produto interno
. A norma
nesse espaço é definida por esse produto interno. O exercício quer que a gente mostre a Identidade do Paralelogramo, que relaciona as normas de
,
,
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades do produto interno e da norma que ele induz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a norma está ligada ao produto interno. A norma de um vetor
é dada por:
Então, ao quadrado, temos:
Isso vai ser útil para simplificar as expressões.
Passo 3
Vamos começar expandindo
. Usando a definição da norma:
Agora, aplicando a propriedade distributiva do produto interno:
Como o produto interno é comutativo,
, então:
Passo 4
Agora, vamos expandir
de forma similar:
Expandindo:
Novamente, usando a comutatividade:
Passo 5
Agora, vamos somar
e
:
Simplificando:
Os termos
e
se cancelam.
Resposta
Assim, mostramos que: