Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
(d) W=(x, y, z, t) in R^4 / 2 x-2 y=0 e t+x=z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar um conjunto de geradores para um subespaço de que satisfaz duas condições: e . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e sistemas lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver sistemas de equações lineares e como expressar os vetores que satisfazem essas equações em termos de uma base.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar as equações que definem . A primeira equação é , que podemos dividir por 2 para facilitar: , ou seja, . A segunda equação é , que podemos reescrever como .

Passo 3

Agora, vamos expressar os vetores de em termos das variáveis livres. Sabemos que e . Vamos escolher e como variáveis livres, já que podemos atribuir valores a elas livremente e encontrar e com base nessas escolhas.

Passo 4

Vamos escrever um vetor genérico (x, x, t + x, t) de usando as relações que encontramos:
Então, o vetor fica:

Passo 5

Agora, vamos separar esse vetor em termos das variáveis livres (x, x, t + x, t) = x cdot (1, 1, 1, 0) + t cdot (0, 0, 1, 1) e :
Isso mostra que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e .

Passo 6

Portanto, o conjunto de vetores gera o subespaço .

Resposta

Um conjunto de geradores para é .

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