Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
(d)
e
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar um conjunto de geradores para um subespaço
de
que satisfaz duas condições:
e
. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e sistemas lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver sistemas de equações lineares e como expressar os vetores que satisfazem essas equações em termos de uma base.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar as equações que definem
. A primeira equação é
, que podemos dividir por 2 para facilitar:
, ou seja,
. A segunda equação é
, que podemos reescrever como
.
Passo 3
Agora, vamos expressar os vetores de
em termos das variáveis livres. Sabemos que
e
. Vamos escolher
e
como variáveis livres, já que podemos atribuir valores a elas livremente e encontrar
e
com base nessas escolhas.
Passo 4
Vamos escrever um vetor genérico
de
usando as relações que encontramos:
Então, o vetor fica:
Passo 5
Agora, vamos separar esse vetor em termos das variáveis livres
e
:
Isso mostra que qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores
e
.
Passo 6
Portanto, o conjunto de vetores
gera o subespaço
.
Resposta
Um conjunto de geradores para
é
.