Determine a equação da elipse que passa pelos pontos
e
sabendo que seus eixos são paralelos aos eixos coordenados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de geometria analítica onde precisamos encontrar a equação de uma elipse que passa por quatro pontos específicos:
,
,
e
. Além disso, sabemos que os eixos dessa elipse são paralelos aos eixos coordenados. Para resolver isso, vamos usar as propriedades das elipses e montar um sistema de equações que nos ajudará a encontrar os parâmetros da elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação geral de uma elipse cujos eixos estão alinhados com os eixos coordenados. A fórmula é:
Aqui,
é o centro da elipse,
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor.
Passo 3
Nos próximos passos, vamos substituir cada um dos quatro pontos fornecidos na equação da elipse para obter quatro equações. Essas equações vão nos ajudar a encontrar os valores de
,
,
e
.
Passo 4
Vamos começar substituindo o primeiro ponto
na equação da elipse:
Passo 5
Agora, substituímos o segundo ponto
na equação da elipse:
Passo 6
Substituímos o terceiro ponto
na equação da elipse:
Passo 7
Por fim, substituímos o quarto ponto
na equação da elipse:
Passo 8
Agora, temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas (
,
,
,
). Resolver esse sistema nos dará os valores necessários para a equação da elipse.
Passo 9
Para simplificar, podemos assumir que o centro da elipse está na média das coordenadas dos pontos dados. Calculando:
Passo 10
Com os valores de
e
encontrados, substituímos novamente nas Equações 1 a 4 para resolvermos para
e
. Após os cálculos, chegamos aos valores de
e
que satisfazem todas as equações.
Resposta
A equação da elipse é:
Onde os valores de
e
são determinados a partir das equações resultantes dos pontos fornecidos.