Seja um conjunto L.I. em . Verifique se os conjuntos abaixo são L.I. ou L.D. justificando sua resposta.
(d) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá um conjunto que é linearmente independente (L.I.) em um espaço vetorial . Nosso objetivo é verificar se o conjunto também é linearmente independente ou não. Para isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser L.I. ou linearmente dependente (L.D.).
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto linearmente independente. Um conjunto de vetores é L.I. se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se implica que , então é L.I.
Passo 3
Vamos montar essa combinação linear:
Vamos distribuir os coeficientes:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 4
Sabemos que é L.I., o que significa que os coeficientes de , e devem ser zero para que a combinação resulte no vetor zero. Então, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema:
Da primeira equação:
Da segunda equação: novamente , que já sabemos que
Da terceira equação:
Passo 6
Observamos que as soluções são todas expressas em termos de . Por exemplo, se escolhermos , então e . Isso significa que existe uma combinação não trivial, ou seja, com , , diferentes de zero, que satisfaz a equação .
Passo 7
Como encontramos uma combinação não trivial que resulta no vetor zero, isso prova que o conjunto é linearmente dependente.