Seja S=u, v, w um conjunto L.I. em V. Verifique se os conjuntos abaixo são L.I. ou L.D. justificando sua resposta.
(d) * S4=u+v, u+v+w, w.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá um conjunto que é linearmente independente (L.I.) em um espaço vetorial . Nosso objetivo é verificar se o conjunto também é linearmente independente ou não. Para isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser L.I. ou linearmente dependente (L.D.).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto linearmente independente. Um conjunto de vetores é L.I. se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se implica que , então é L.I.

Passo 3

Vamos montar essa combinação linear:
a(u + v) + b(u + v + w) + c w = 0
Vamos distribuir os coeficientes:
a u + a v + b u + b v + b w + c w = 0
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
(a + b)u + (a + b)v + (b + c)w = 0

Passo 4

Sabemos que a + b = 0 a + b = 0 b + c = 0 é L.I., o que significa que os coeficientes de , e devem ser zero para que a combinação resulte no vetor zero. Então, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema:
  1. Da primeira equação:
  2. Da segunda equação: novamente , que já sabemos que
  3. Da terceira equação:

Passo 6

Observamos que as soluções são todas expressas em termos de . Por exemplo, se escolhermos , então e . Isso significa que existe uma combinação não trivial, ou seja, com , , diferentes de zero, que satisfaz a equação .

Passo 7

Como encontramos uma combinação não trivial que resulta no vetor zero, isso prova que o conjunto é linearmente dependente.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente.

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