Reduza as matrizes abaixo à forma escada e calcule seu posto e a sua nulidade.
а)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa transformar a matriz dada em forma escada e depois descobrir o posto e a nulidade dela. Isso faz parte da Álgebra Linear, onde trabalhamos com matrizes e suas propriedades. Para isso, vamos usar operações elementares nas linhas da matriz para chegar na forma escada e, com isso, calcular o posto (que é basicamente o número de linhas não nulas) e a nulidade (que está relacionada ao número de soluções do sistema associado).
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz que precisamos reduzir:
Passo 3
Nosso objetivo é obter zeros abaixo do primeiro elemento da primeira coluna. Para isso, vamos usar a primeira linha como referência.
Linha 2: Vamos substituir a Linha 2 pela Linha 2 menos 2 vezes a Linha 1.
Calculando:
Então, a nova Linha 2 fica:
Linha 3: Vamos substituir a Linha 3 pela Linha 3 menos 3 vezes a Linha 1.
Calculando:
Então, a nova Linha 3 fica:
A matriz agora fica:
Passo 4
Agora, vamos focar na segunda coluna e criar um zero abaixo do elemento (2,2), que é 3. Para isso, usamos a Linha 2 como referência.
Linha 3: Vamos substituir a Linha 3 pela Linha 3 menos (7/3) vezes a Linha 2.
Calculando:
Então, a nova Linha 3 fica:
A matriz agora fica:
Passo 5
Para simplificar, podemos multiplicar a Linha 3 por 3 para eliminar os denominadores:
Calculando:
Então, a Linha 3 fica:
Nossa matriz agora está na forma escada:
Passo 6
Agora que a matriz está em forma escada, podemos determinar o posto e a nulidade.
Posto (Rank): É o número de linhas não nulas na forma escada. Aqui, todas as três linhas têm pelo menos um elemento diferente de zero, então o posto é 3.
Nulidade: É o número de colunas menos o posto. A matriz original tem 4 colunas.