Reduza as matrizes abaixo à forma escada e calcule seu posto e a sua nulidade.
а)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa transformar a matriz dada em forma escada e depois descobrir o posto e a nulidade dela. Isso faz parte da Álgebra Linear, onde trabalhamos com matrizes e suas propriedades. Para isso, vamos usar operações elementares nas linhas da matriz para chegar na forma escada e, com isso, calcular o posto (que é basicamente o número de linhas não nulas) e a nulidade (que está relacionada ao número de soluções do sistema associado).

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que precisamos reduzir:

Passo 3

Nosso objetivo é obter zeros abaixo do primeiro elemento da primeira coluna. Para isso, vamos usar a primeira linha como referência.
  • Linha 2: Vamos substituir a Linha 2 pela Linha 2 menos 2 vezes a Linha 1.
    Calculando:
    Então, a nova Linha 2 fica:
  • Linha 3: Vamos substituir a Linha 3 pela Linha 3 menos 3 vezes a Linha 1.
    Calculando:
    Então, a nova Linha 3 fica:
A matriz agora fica:

Passo 4

Agora, vamos focar na segunda coluna e criar um zero abaixo do elemento (2,2), que é 3. Para isso, usamos a Linha 2 como referência.
  • Linha 3: Vamos substituir a Linha 3 pela Linha 3 menos (7/3) vezes a Linha 2.
    Calculando:
    Então, a nova Linha 3 fica:
A matriz agora fica:

Passo 5

Para simplificar, podemos multiplicar a Linha 3 por 3 para eliminar os denominadores:
Calculando:
Então, a Linha 3 fica:
Nossa matriz agora está na forma escada:

Passo 6

Agora que a matriz está em forma escada, podemos determinar o posto e a nulidade.
  • Posto (Rank): É o número de linhas não nulas na forma escada. Aqui, todas as três linhas têm pelo menos um elemento diferente de zero, então o posto é 3.
  • Nulidade: É o número de colunas menos o posto. A matriz original tem 4 colunas.

Resposta

A matriz reduzida à forma escada é
O posto da matriz é 3 e sua nulidade é 1.

Exercícios relacionados

Verifique quais das funções abaixo são lineares. .
Determine o subespaço do espaço , gerado pelos vetores de , em cada caso.
© e .
Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
(a) e
Verifique quais das funções abaixo são lineares. , onde .