Reduza as matrizes abaixo à forma escada e calcule seu posto e a sua nulidade.
а) (cccc1 & -2 & 3 & -1 2 & -1 & 2 & 2 3 & 1 & 2 & 3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa transformar a matriz dada em forma escada e depois descobrir o posto e a nulidade dela. Isso faz parte da Álgebra Linear, onde trabalhamos com matrizes e suas propriedades. Para isso, vamos usar operações elementares nas linhas da matriz para chegar na forma escada e, com isso, calcular o posto (que é basicamente o número de linhas não nulas) e a nulidade (que está relacionada ao número de soluções do sistema associado).

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que precisamos reduzir:
1 & -2 & 3 & -1 2 & -1 & 2 & 2 3 & 1 & 2 & 3

Passo 3

Nosso objetivo é obter zeros abaixo do primeiro elemento da primeira coluna. Para isso, vamos usar a primeira linha como referência.
  • Linha 2: Vamos substituir a Linha 2 pela Linha 2 menos 2 vezes a Linha 1.
    R2 = R2 - 2R1
    Calculando:
    2 - 2(1) = 0 -1 - 2(-2) = -1 + 4 = 3 2 - 2(3) = 2 - 6 = -4 2 - 2(-1) = 2 + 2 = 4
    Então, a nova Linha 2 fica:
    (0, 3, -4, 4)
  • Linha 3: Vamos substituir a Linha 3 pela Linha 3 menos 3 vezes a Linha 1.
    R3 = R3 - 3R1
    Calculando:
    3 - 3(1) = 0 1 - 3(-2) = 1 + 6 = 7 2 - 3(3) = 2 - 9 = -7 3 - 3(-1) = 3 + 3 = 6
    Então, a nova Linha 3 fica:
    (0, 7, -7, 6)
A matriz agora fica:
1 & -2 & 3 & -1 0 & 3 & -4 & 4 0 & 7 & -7 & 6

Passo 4

Agora, vamos focar na segunda coluna e criar um zero abaixo do elemento (2,2), que é 3. Para isso, usamos a Linha 2 como referência.
  • Linha 3: Vamos substituir a Linha 3 pela Linha 3 menos (7/3) vezes a Linha 2.
    R3 = R3 - 73R2
    Calculando:
    7 - 73(3) = 7 - 7 = 0 -7 - 73(-4) = -7 + 283 = -21 + 283 = 73 6 - 73(4) = 6 - 283 = 18 - 283 = -103
    Então, a nova Linha 3 fica:
    (0, 0, 73, -103)
A matriz agora fica:
1 & -2 & 3 & -1 0 & 3 & -4 & 4 0 & 0 & 73 & -103

Passo 5

Para simplificar, podemos multiplicar a Linha 3 por 3 para eliminar os denominadores:
R3 = 3R3
Calculando:
0 times 3 = 0 0 times 3 = 0 73 times 3 = 7 -103 times 3 = -10
Então, a Linha 3 fica:
(0, 0, 7, -10)
Nossa matriz agora está na forma escada:
1 & -2 & 3 & -1 0 & 3 & -4 & 4 0 & 0 & 7 & -10

Passo 6

Agora que a matriz está em forma escada, podemos determinar o posto e a nulidade.
  • Posto (Rank): É o número de linhas não nulas na forma escada. Aqui, todas as três linhas têm pelo menos um elemento diferente de zero, então o posto é 3.
  • Nulidade: É o número de colunas menos o posto. A matriz original tem 4 colunas.
    Nulidade = 4 - 3 = 1

Resposta

A matriz reduzida à forma escada é
1 & -2 & 3 & -1 0 & 3 & -4 & 4 0 & 0 & 7 & -10
O posto da matriz é 3 e sua nulidade é 1.

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