Verifique quais das funções abaixo são lineares. .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a função , definida por , é linear. Isso envolve entender o que é uma função linear e como testar isso na prática.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função linear. Uma função é linear se satisfaz duas propriedades:
Aditividade: para quaisquer vetores e .
Homogeneidade: para qualquer escalar e qualquer vetor .
Precisamos verificar se a função cumpre essas duas propriedades.
Passo 3
Vamos testar a aditividade primeiro. Seja e elementos de (o campo sobre o qual está definido). Aplicando na soma :
Agora, calculando :
Como , a propriedade de aditividade é satisfeita.
Passo 4
Agora vamos testar a homogeneidade. Seja um escalar em e um elemento de . Calculando :
Calculando :
Novamente, vemos que , então a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.
Resposta
Como a função satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, ela é uma função linear.