Verifique quais das funções abaixo são lineares. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a função , definida por , é linear. Isso envolve entender o que é uma função linear e como testar isso na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função linear. Uma função é linear se satisfaz duas propriedades:
  1. Aditividade: para quaisquer vetores e .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e qualquer vetor .
Precisamos verificar se a função cumpre essas duas propriedades.

Passo 3

Vamos testar a aditividade primeiro. Seja e elementos de (o campo sobre o qual está definido). Aplicando na soma :
Agora, calculando :
Como , a propriedade de aditividade é satisfeita.

Passo 4

Agora vamos testar a homogeneidade. Seja um escalar em e um elemento de . Calculando :
Calculando :
Novamente, vemos que , então a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.

Resposta

Como a função satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, ela é uma função linear.

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© e .
Determine o subespaço do espaço , gerado pelos vetores de , em cada caso.
(b) onde e .
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а)
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(a) e