Verifique quais das funções abaixo são lineares. T: F F^3, T(x)=(x, 2 x,-x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a função , definida por , é linear. Isso envolve entender o que é uma função linear e como testar isso na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função linear. Uma função é linear se satisfaz duas propriedades:
  1. Aditividade: para quaisquer vetores e .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e qualquer vetor .
Precisamos verificar se a função cumpre essas duas propriedades.

Passo 3

Vamos testar a aditividade primeiro. Seja T(u + v) = (u + v, 2(u + v), -(u + v)) = (u + v, 2u + 2v, -u - v) e T(u) + T(v) = (u, 2u, -u) + (v, 2v, -v) = (u + v, 2u + 2v, -u - v) elementos de (o campo sobre o qual está definido). Aplicando na soma :
Agora, calculando :
Como , a propriedade de aditividade é satisfeita.

Passo 4

Agora vamos testar a homogeneidade. Seja T(cu) = (cu, 2(cu), -(cu)) = (cu, 2cu, -cu) um escalar em cT(u) = c(u, 2u, -u) = (cu, 2cu, -cu) e um elemento de . Calculando :
Calculando :
Novamente, vemos que , então a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.

Resposta

Como a função satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, ela é uma função linear.

Exercícios relacionados