Verifique quais das funções abaixo são lineares.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a função
, definida por
, é linear. Isso envolve entender o que é uma função linear e como testar isso na prática.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função linear. Uma função
é linear se satisfaz duas propriedades:
- Aditividade:
para quaisquer vetores e . - Homogeneidade:
para qualquer escalar e qualquer vetor .
Precisamos verificar se a função
cumpre essas duas propriedades.
Passo 3
Vamos testar a aditividade primeiro. Seja
e
elementos de
(o campo sobre o qual
está definido). Aplicando
na soma
:
Agora, calculando
:
Como
, a propriedade de aditividade é satisfeita.
Passo 4
Agora vamos testar a homogeneidade. Seja
um escalar em
e
um elemento de
. Calculando
:
Calculando
:
Novamente, vemos que
, então a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.
Resposta
Como a função
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, ela é uma função linear.