Determine um conjunto de geradores dos seguintes subespaços de V.
U1=(x, y, z, t) in R^4: x-y-z+t=0, V=R^4;

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente encontrar um conjunto de geradores pra um subespaço U1 de R^4. Esse subespaço é definido pela equação x - y - z + t = 0. Vamos precisar usar conceitos de espaços vetoriais e resolver essa equação para achar os vetores que vão gerar todo o subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação x - y - z + t = 0 para uma das variáveis, digamos x. Assim, ficamos com:
x = y + z - t
Isso significa que qualquer vetor no U1 tem a primeira coordenada ( x) dependente das outras três ( y, z, t).

Passo 3

Agora, vamos expressar um vetor genérico (x, y, z, t) em termos de y, z e t. Substituindo x na expressão do vetor, temos:
(x, y, z, t) = (y + z - t, y, z, t)
Podemos decompor isso em combinações lineares de vetores:
(y + z - t, y, z, t) = y(1, 1, 0, 0) + z(1, 0, 1, 0) + t(-1, 0, 0, 1)

Passo 4

Dessa forma, qualquer vetor no U1 pode ser escrito como uma combinação desses três vetores: (1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0) e (-1, 0, 0, 1). Isso significa que esses vetores geram todo o subespaço U1.

Resposta

Um conjunto de geradores para U1 é:
, (1,1,0,0),; (1,0,1,0),; (-1,0,0,1) ,

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