Determine um conjunto de geradores dos seguintes subespaços de
.
;
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente encontrar um conjunto de geradores pra um subespaço
de
. Esse subespaço é definido pela equação
. Vamos precisar usar conceitos de espaços vetoriais e resolver essa equação para achar os vetores que vão gerar todo o subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação
para uma das variáveis, digamos
. Assim, ficamos com:
Isso significa que qualquer vetor no
tem a primeira coordenada (
) dependente das outras três (
,
,
).
Passo 3
Agora, vamos expressar um vetor genérico
em termos de
,
e
. Substituindo
na expressão do vetor, temos:
Podemos decompor isso em combinações lineares de vetores:
Passo 4
Dessa forma, qualquer vetor no
pode ser escrito como uma combinação desses três vetores:
,
e
. Isso significa que esses vetores geram todo o subespaço
.
Resposta
Um conjunto de geradores para
é: