Determine um conjunto de geradores dos seguintes subespaços de V.
U1+U2 e U3+U4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer descobrir um conjunto de geradores para os subespaços e dentro de um espaço vetorial . Isso envolve entender como somar subespaços e identificar vetores que conseguem gerar todo o subespaço resultante. Para isso, vamos precisar saber o que são subespaços, somas de subespaços e conjuntos geradores. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço. Um subespaço de é um conjunto de vetores que satisfaz três condições:
  1. O vetor zero está no subespaço.
  2. Se você pegar dois vetores no subespaço e somá-los, o resultado também está no subespaço.
  3. Se você multiplicar um vetor do subespaço por um escalar, o resultado também está no subespaço.
Agora, a soma de dois subespaços e (escrito como ) é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como , onde está em e está em .

Passo 3

Um conjunto de geradores para um subespaço é um conjunto de vetores a partir dos quais todos os vetores do subespaço podem ser obtidos por combinações lineares desses vetores. Então, para encontrar um conjunto de geradores para , precisamos encontrar todos os vetores que estão em e em .

Passo 4

Vamos começar com . Suponha que seja um conjunto de geradores para e seja um conjunto de geradores para .
Para gerar , basta combinar todos esses vetores. Isso porque qualquer vetor em pode ser escrito como , onde é uma combinação linear dos vetores em e é uma combinação linear dos vetores em .

Passo 5

Portanto, o conjunto de geradores para é .

Passo 6

O mesmo raciocínio se aplica para . Se é um conjunto de geradores para e para , então o conjunto de geradores para é .

Resposta

Um conjunto de geradores para é e para é , onde e são conjuntos de geradores dos subespaços e respectivamente.

Exercícios relacionados