Determine um conjunto de geradores dos seguintes subespaços de
.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer descobrir um conjunto de geradores para os subespaços
e
dentro de um espaço vetorial
. Isso envolve entender como somar subespaços e identificar vetores que conseguem gerar todo o subespaço resultante. Para isso, vamos precisar saber o que são subespaços, somas de subespaços e conjuntos geradores. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço. Um subespaço de
é um conjunto de vetores que satisfaz três condições:
- O vetor zero está no subespaço.
- Se você pegar dois vetores no subespaço e somá-los, o resultado também está no subespaço.
- Se você multiplicar um vetor do subespaço por um escalar, o resultado também está no subespaço.
Agora, a soma de dois subespaços
e
(escrito como
) é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como
, onde
está em
e
está em
.
Passo 3
Um conjunto de geradores para um subespaço é um conjunto de vetores a partir dos quais todos os vetores do subespaço podem ser obtidos por combinações lineares desses vetores. Então, para encontrar um conjunto de geradores para
, precisamos encontrar todos os vetores que estão em
e em
.
Passo 4
Vamos começar com
. Suponha que
seja um conjunto de geradores para
e
seja um conjunto de geradores para
.
Para gerar
, basta combinar todos esses vetores. Isso porque qualquer vetor em
pode ser escrito como
, onde
é uma combinação linear dos vetores em
e
é uma combinação linear dos vetores em
.
Passo 5
Portanto, o conjunto de geradores para
é
.
Passo 6
O mesmo raciocínio se aplica para
. Se
é um conjunto de geradores para
e
para
, então o conjunto de geradores para
é
.
Resposta
Um conjunto de geradores para
é
e para
é
, onde
e
são conjuntos de geradores dos subespaços
e
respectivamente.