Determine um conjunto de geradores dos seguintes subespaços de . e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer descobrir um conjunto de geradores para os subespaços e dentro de um espaço vetorial . Isso envolve entender como somar subespaços e identificar vetores que conseguem gerar todo o subespaço resultante. Para isso, vamos precisar saber o que são subespaços, somas de subespaços e conjuntos geradores. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço. Um subespaço de é um conjunto de vetores que satisfaz três condições:
O vetor zero está no subespaço.
Se você pegar dois vetores no subespaço e somá-los, o resultado também está no subespaço.
Se você multiplicar um vetor do subespaço por um escalar, o resultado também está no subespaço.
Agora, a soma de dois subespaços e (escrito como ) é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como , onde está em e está em .
Passo 3
Um conjunto de geradores para um subespaço é um conjunto de vetores a partir dos quais todos os vetores do subespaço podem ser obtidos por combinações lineares desses vetores. Então, para encontrar um conjunto de geradores para , precisamos encontrar todos os vetores que estão em e em .
Passo 4
Vamos começar com . Suponha que seja um conjunto de geradores para e seja um conjunto de geradores para .
Para gerar , basta combinar todos esses vetores. Isso porque qualquer vetor em pode ser escrito como , onde é uma combinação linear dos vetores em e é uma combinação linear dos vetores em .
Passo 5
Portanto, o conjunto de geradores para é .
Passo 6
O mesmo raciocínio se aplica para . Se é um conjunto de geradores para e para , então o conjunto de geradores para é .
Resposta
Um conjunto de geradores para é e para é , onde e são conjuntos de geradores dos subespaços e respectivamente.