Seja , onde e .
Mostre que e pertencem a e que é uma base de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que temos trata de álgebra linear, mais especificamente de subespaços e bases em espaços vetoriais. A gente precisa mostrar duas coisas:
Que os vetores e estão no subespaço gerado pelos vetores e .
Que o conjunto forma uma base para , ou seja, que eles são linearesmente independentes e que todo vetor em pode ser escrito como uma combinação linear deles.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que e pertencem a . Isso significa que eles podem ser escritos como combinações lineares dos vetores e . Ou seja, queremos encontrar escalares e tais que:
Vamos fazer isso para e depois para .
Passo 3
Para :
Queremos encontrar e tais que:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
E na terceira equação:
Tudo confere! Então, pertence a .
Passo 4
Para (1, i, 1 + i) = a cdot (1, 0, i) + b cdot (1+i, 1, -1) :
Procuramos 1 = a(1) + b(1 + i) i = a(0) + b(1) 1 + i = a(i) + b(-1) e 1 = a + i(1 + i) = a + i + i^2 = a + i - 1 Rightarrow a = 1 - i + 1 = 2 - i tais que:
1 + i = (2 - i)i + i(-1) = 2i - i^2 - i = 2i + 1 - i = i + 1
Isso nos dá:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
E na terceira equação:
Tudo certo novamente! Logo, também está em .
Passo 5
Agora, precisamos provar que é uma base de . Para isso, dois aspectos são importantes:
Linearmente Independentes: Nenhum dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear do outro.
Geração de : Já mostramos que é gerado por e .
Vamos verificar a independência linear.
Passo 6
Consideramos a combinação linear igual a zero:
c1 w1 + c2 w2 = (0, 0, 0)
Substituindo os valores:
c1 (1, 1, 0) + c2 (1, i, 1 + i) = (0, 0, 0)
O que nos dá o sistema:
c1 + c2 = 0 c1 + c2 i = 0 0 + c2 (1 + i) = 0
Da terceira equação, . Como , temos . Substituindo na primeira equação, .
Como a única solução é , os vetores são linearmente independentes.
Resposta
Pronto! Mostramos que e pertencem a e que são linearmente independentes. Portanto, é uma base para .