Seja W=[v1, v2] subset C^3, onde v1=(1,0, i) e v2=(1+i, 1,-1).
Mostre que w1=(1,1,0) e w2=(1, i, 1+i) pertencem a W e que w1, w2 é uma base de W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que temos trata de álgebra linear, mais especificamente de subespaços e bases em espaços vetoriais. A gente precisa mostrar duas coisas:
  1. Que os vetores e estão no subespaço gerado pelos vetores e .
  2. Que o conjunto forma uma base para , ou seja, que eles são linearesmente independentes e que todo vetor em pode ser escrito como uma combinação linear deles.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que w = a cdot v1 + b cdot v2 e pertencem a . Isso significa que eles podem ser escritos como combinações lineares dos vetores e . Ou seja, queremos encontrar escalares e tais que:
Vamos fazer isso para e depois para .

Passo 3

Para (1, 1, 0) = a cdot (1, 0, i) + b cdot (1+i, 1, -1) :
Queremos encontrar 1 = a(1) + b(1 + i) 1 = a(0) + b(1) 0 = a(i) + b(-1) e 1 = a + (1 + i) Rightarrow a = 1 - (1 + i) = -i tais que:
0 = (-i)(i) + (-1) Rightarrow 0 = -i^2 - 1 = -(-1) - 1 = 1 - 1 = 0
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
E na terceira equação:
Tudo confere! Então, pertence a .

Passo 4

Para (1, i, 1 + i) = a cdot (1, 0, i) + b cdot (1+i, 1, -1) :
Procuramos 1 = a(1) + b(1 + i) i = a(0) + b(1) 1 + i = a(i) + b(-1) e 1 = a + i(1 + i) = a + i + i^2 = a + i - 1 Rightarrow a = 1 - i + 1 = 2 - i tais que:
1 + i = (2 - i)i + i(-1) = 2i - i^2 - i = 2i + 1 - i = i + 1
Isso nos dá:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
E na terceira equação:
Tudo certo novamente! Logo, também está em .

Passo 5

Agora, precisamos provar que é uma base de . Para isso, dois aspectos são importantes:
  1. Linearmente Independentes: Nenhum dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear do outro.
  2. Geração de : Já mostramos que é gerado por e .
Vamos verificar a independência linear.

Passo 6

Consideramos a combinação linear igual a zero:
c1 w1 + c2 w2 = (0, 0, 0)
Substituindo os valores:
c1 (1, 1, 0) + c2 (1, i, 1 + i) = (0, 0, 0)
O que nos dá o sistema:
c1 + c2 = 0 c1 + c2 i = 0 0 + c2 (1 + i) = 0
Da terceira equação, . Como , temos . Substituindo na primeira equação, .
Como a única solução é , os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Pronto! Mostramos que e pertencem a e que são linearmente independentes. Portanto, é uma base para .

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