Seja V o espaço das funções definidas de R sobre R. Para cada f, g in V a função f+g: R R é definida por (f+g)(x)=f(x)+g(x) para cada x in R. Se alpha in R, para cada f defina alpha cdot f: R R por (alpha cdot f)(x)=alpha f(x) para cada x in R. Com estas operações V é um espaço vetorial sobre R. Verifique quais dos seguintes conjuntos são subespaços de V.
W2=f in V ; integral0^1 f(t) d t=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre espaços vetoriais, especificamente sobre um conjunto de funções que pertencem a um espaço vetorial . Nosso objetivo é verificar se é realmente um subespaço de . Para isso, precisamos lembrar alguns conceitos básicos sobre espaços vetoriais e subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre o conjunto dos números reais é um conjunto de funções onde podemos somar duas funções e multiplicar uma função por um escalar (número real), e essas operações obedecem a certas regras (como associatividade, comutatividade, existência do elemento zero, etc.).
No nosso caso, é o conjunto de todas as funções de para , com a soma de funções definida por e a multiplicação por escalar definida por .
Para ser um subespaço de , ele precisa satisfazer três condições:
  1. Elemento zero: A função que sempre retorna zero deve estar em .
  2. Fechamento por soma: Se duas funções estão em , a soma delas também deve estar em .
  3. Fechamento por multiplicação por escalar: Se uma função está em e a multiplicamos por um escalar, o resultado também deve estar em .

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: a presença do elemento zero.
A função zero é aquela que, para todo integral0^1 f(t) , dt = integral0^1 0 , dt = 0 , . Vamos ver se ela pertence a :
Como a integral da função zero de 0 a 1 é igual a zero, a função zero está em . Então, a primeira condição está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a fechamento por soma. Ou seja, se integral0^1 f(t) , dt = 0 e integral0^1 g(t) , dt = 0 e integral0^1 (f(t) + g(t)) , dt = integral0^1 f(t) , dt + integral0^1 g(t) , dt = 0 + 0 = 0 estão em , então também deve estar em .
Sabemos que e significam que:
Vamos calcular a integral de :
Portanto, também satisfaz a condição para estar em . A segunda condição está satisfeita.

Passo 5

Por último, vamos verificar a fechamento por multiplicação por escalar. Ou seja, se integral0^1 f(t) , dt = 0 está em integral0^1 (alpha cdot f(t)) , dt = alpha cdot integral0^1 f(t) , dt = alpha cdot 0 = 0 e é um número real, então também deve estar em .
Sabemos que significa que:
Vamos calcular a integral de :
Assim, também satisfaz a condição para estar em . A terceira condição está satisfeita.

Resposta

Como todas as três condições para ser um subespaço de estão satisfeitas, concluímos que é um subespaço de .

Exercícios relacionados

Se A e B são matrizes de ordem 2 times 3, qual das seguintes operações não pode ser efetuada?
B^T A
Seja W=[v1, v2] subset C^3, onde v1=(1,0, i) e v2=(1+i, 1,-1).
Mostre que v1, v2 é uma base de W.
Reduza as matrizes abaixo à forma escalonada:
B=(cccc6 & 3 & -4 & -4 & 1 & -1 & 1 0 & 1 & 2 & 2)
Determine um conjunto de geradores dos seguintes subespaços de V.
U1+U2 e U3+U4.