Seja o espaço das funções definidas de sobre . Para cada a função é definida por para cada . Se , para cada defina por para cada . Com estas operações é um espaço vetorial sobre . Verifique quais dos seguintes conjuntos são subespaços de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre espaços vetoriais, especificamente sobre um conjunto de funções que pertencem a um espaço vetorial . Nosso objetivo é verificar se é realmente um subespaço de . Para isso, precisamos lembrar alguns conceitos básicos sobre espaços vetoriais e subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre o conjunto dos números reais é um conjunto de funções onde podemos somar duas funções e multiplicar uma função por um escalar (número real), e essas operações obedecem a certas regras (como associatividade, comutatividade, existência do elemento zero, etc.).
No nosso caso, é o conjunto de todas as funções de para , com a soma de funções definida por e a multiplicação por escalar definida por .
Para ser um subespaço de , ele precisa satisfazer três condições:
Elemento zero: A função que sempre retorna zero deve estar em .
Fechamento por soma: Se duas funções estão em , a soma delas também deve estar em .
Fechamento por multiplicação por escalar: Se uma função está em e a multiplicamos por um escalar, o resultado também deve estar em .
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição: a presença do elemento zero.
A função zero é aquela que, para todo , . Vamos ver se ela pertence a :
Como a integral da função zero de 0 a 1 é igual a zero, a função zero está em . Então, a primeira condição está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a fechamento por soma. Ou seja, se e estão em , então também deve estar em .
Sabemos que e significam que:
Vamos calcular a integral de :
Portanto, também satisfaz a condição para estar em . A segunda condição está satisfeita.
Passo 5
Por último, vamos verificar a fechamento por multiplicação por escalar. Ou seja, se está em e é um número real, então também deve estar em .
Sabemos que significa que:
Vamos calcular a integral de :
Assim, também satisfaz a condição para estar em . A terceira condição está satisfeita.
Resposta
Como todas as três condições para ser um subespaço de estão satisfeitas, concluímos que é um subespaço de .