Seja
o espaço das funções definidas de
sobre
. Para cada
a função
é definida por
para cada
. Se
, para cada
defina
por
para cada
. Com estas operações
é um espaço vetorial sobre
. Verifique quais dos seguintes conjuntos são subespaços de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre espaços vetoriais, especificamente sobre um conjunto
de funções que pertencem a um espaço vetorial
. Nosso objetivo é verificar se
é realmente um subespaço de
. Para isso, precisamos lembrar alguns conceitos básicos sobre espaços vetoriais e subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial
sobre o conjunto dos números reais
é um conjunto de funções onde podemos somar duas funções e multiplicar uma função por um escalar (número real), e essas operações obedecem a certas regras (como associatividade, comutatividade, existência do elemento zero, etc.).
No nosso caso,
é o conjunto de todas as funções de
para
, com a soma de funções definida por
e a multiplicação por escalar definida por
.
Para
ser um subespaço de
, ele precisa satisfazer três condições:
- Elemento zero: A função que sempre retorna zero deve estar em
. - Fechamento por soma: Se duas funções estão em
, a soma delas também deve estar em . - Fechamento por multiplicação por escalar: Se uma função está em
e a multiplicamos por um escalar, o resultado também deve estar em .
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição: a presença do elemento zero.
A função zero é aquela que, para todo
,
. Vamos ver se ela pertence a
:
Como a integral da função zero de 0 a 1 é igual a zero, a função zero está em
. Então, a primeira condição está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a fechamento por soma. Ou seja, se
e
estão em
, então
também deve estar em
.
Sabemos que
e
significam que:
Vamos calcular a integral de
:
Portanto,
também satisfaz a condição para estar em
. A segunda condição está satisfeita.
Passo 5
Por último, vamos verificar a fechamento por multiplicação por escalar. Ou seja, se
está em
e
é um número real, então
também deve estar em
.
Sabemos que
significa que:
Vamos calcular a integral de
:
Assim,
também satisfaz a condição para estar em
. A terceira condição está satisfeita.
Resposta
Como todas as três condições para ser um subespaço de
estão satisfeitas, concluímos que
é um subespaço de
.