Determine o conjunto imagem da função
dada por
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos determinar o conjunto imagem da função
definida por
.
Aqui, estamos lidando com funções e conjuntos, especificamente trabalhando com conjuntos de números naturais (
) e inteiros (
). Para resolver isso, vamos analisar como a função transforma cada número natural em um inteiro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. O que isso faz é multiplicar o número natural
por
. Essa expressão alterna o sinal de
dependendo se
é par ou ímpar.
- Se
for par, , então . - Se
for ímpar, , então .
Passo 3
Vamos listar alguns valores para visualizar melhor:
-
: -
: -
: -
: - E assim por diante…
Perceba que para cada número natural
, a função
retorna um inteiro que pode ser positivo ou negativo, alternando conforme
aumenta.
Passo 4
Com base nisso, o conjunto imagem é o conjunto de todos os valores possíveis que
pode assumir. Observando os exemplos acima, vemos que
gera tanto positivos quanto negativos dos números naturais.
Portanto, o conjunto imagem inclui todos os inteiros menos o zero, já que para todo
,
é sempre diferente de zero.
Resposta
O conjunto imagem da função
é
.