Vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos determinar o conjunto imagem da função definida por .
Aqui, estamos lidando com funções e conjuntos, especificamente trabalhando com conjuntos de números naturais () e inteiros (). Para resolver isso, vamos analisar como a função transforma cada número natural em um inteiro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função . O que isso faz é multiplicar o número natural por . Essa expressão alterna o sinal de dependendo se é par ou ímpar.
Se for par, , então .
Se for ímpar, , então .
Passo 3
Vamos listar alguns valores para visualizar melhor:
:
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:
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E assim por diante…
Perceba que para cada número natural , a função retorna um inteiro que pode ser positivo ou negativo, alternando conforme aumenta.
Passo 4
Com base nisso, o conjunto imagem é o conjunto de todos os valores possíveis que pode assumir. Observando os exemplos acima, vemos que gera tanto positivos quanto negativos dos números naturais.
Portanto, o conjunto imagem inclui todos os inteiros menos o zero, já que para todo , é sempre diferente de zero.