Determine o domínio maximal D ⊆ R das seguintes funções f: D -> R f(x) = raiz(raiz(1 + x) - x)

Passo 1

Beleza, vamos determinar o domínio maximal da função . Isso significa que precisamos encontrar todos os valores de nos quais a função está definida. Para resolver isso, vamos focar em qual conteúdo de matemática estamos usando, que nesse caso é sobre funções e, mais especificamente, sobre as restrições do domínio de funções que envolvem raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, sabemos que a expressão dentro de uma raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero, já que a raiz quadrada de um número negativo não está definida nos números reais. Assim, para estar definida, o que está dentro da raiz externa, que é , precisa ser pelo menos zero:

Passo 3

Agora, vamos resolver a inequação . Podemos isolar a raiz quadrada:
Para eliminar a raiz quadrada, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:

Passo 4

Agora, temos a inequação quadrática . Para resolver isso, vamos encontrar as raízes da equação quadrática associada usando a fórmula de Bhaskara:
As raízes são e .

Passo 5

Sabendo que o coeficiente de é positivo, a parábola associada à inequação estará abaixo do eixo entre as raízes. Portanto, a solução da inequação é:

Passo 6

Mas também precisamos considerar a expressão dentro da raiz quadrada interna, . Para que essa raiz seja definida, o que está dentro dela também precisa ser não negativo:

Passo 7

Agora, juntando as duas condições que encontramos:
Como é maior que , a interseção das duas condições é:

Resposta

O domínio maximal da função é:

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