Sejam dadas as seguintes funções (a) f: N -> N, f(n) = 3n + 1 (b) g: R -> R, g(x) = x - |(x + 2)^2 - 1| © h(x) = raiz(x + 1) - raiz(x) Determine as pré-imagens abaixo g^(-1)([-3,-1]).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta três funções, mas o foco aqui é na função . O que precisamos fazer é encontrar todos os valores de que, ao serem inseridos na função , resultam em valores dentro do intervalo . Isso significa resolver a equação .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar uma pré-imagem. Basicamente, estamos buscando todos os que, após serem processados pela função , caem no intervalo especificado. Então, queremos resolver:
Substituindo :

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto. Primeiro, calculemos :
Então, a desigualdade fica:

Passo 4

Agora, precisamos considerar diferentes casos para resolver a desigualdade envolvendo o valor absoluto. O valor absoluto pode ser positivo ou negativo dependendo do valor de .
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde para determinar onde a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal.
Resolvendo a equação quadrática:

Passo 5

Isso nos divide a linha dos números reais em três intervalos:
Vamos analisar cada intervalo separadamente.

Passo 6

Caso 1:
Neste intervalo, , então:
A desigualdade fica:
Vamos resolver as duas desigualdades separadamente.
Parte A:
As soluções são . Mas como estamos no caso , não há soluções aqui.
Parte B:
As soluções são ou . Dentro do intervalo , temos , então todas as soluções de satisfazem esta parte.
Conclusão do Caso 1: Não há soluções neste intervalo.

Passo 7

Caso 2:
Aqui, , então:
A desigualdade fica:
Vamos resolver as duas desigualdades separadamente.
Parte A:
As soluções são ou . Dentro do intervalo , isso se reduz a .
Parte B:
As soluções são . Dentro do intervalo , temos .
Conclusão do Caso 2: A interseção das soluções das Partes A e B é .

Passo 8

Caso 3:
Neste intervalo, , então:
A desigualdade fica:
Vamos resolver as duas desigualdades separadamente.
Parte A:
As soluções são . Mas como estamos no caso , a interseção é .
Parte B:
As soluções são ou . Dentro do intervalo , isso se reduz a .
Conclusão do Caso 3: A interseção das soluções das Partes A e B é .

Passo 9

Vamos juntar os resultados dos três casos:
  • Caso 1: Não há soluções.
  • Caso 2: .
  • Caso 3: .
Combinando os casos 2 e 3, temos:

Resposta

A pré-imagem é o conjunto de todos os números reais tais que:
Ou seja,

Exercícios relacionados

Determine o conjunto imagem da função f: N -> Z dada por f(n)=(-1)^n * n.
Determine o domínio maximal D ⊆ R das seguintes funções f: D -> R f(x) = raiz(raiz(1 + x) - x)
Sejam dadas as seguintes funções (a) f: N -> N, f(n) = 3n + 1 (b) g: R -> R, g(x) = x - |(x + 2)^2 - 1| © h(x) = raiz(x + 1) - raiz(x) Determine as pré-imagens abaixo h^(-1)({1}).
Determine o domínio maximal D ⊆ R das seguintes funções f: D -> R f(x) = 1 / (x(x + 4)(3x + 1))