Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta três funções, mas o foco aqui é na função . O que precisamos fazer é encontrar todos os valores de que, ao serem inseridos na função , resultam em valores dentro do intervalo . Isso significa resolver a equação .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar uma pré-imagem. Basicamente, estamos buscando todos os que, após serem processados pela função , caem no intervalo especificado. Então, queremos resolver:
Substituindo :
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto. Primeiro, calculemos :
Então, a desigualdade fica:
Passo 4
Agora, precisamos considerar diferentes casos para resolver a desigualdade envolvendo o valor absoluto. O valor absoluto pode ser positivo ou negativo dependendo do valor de .
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde para determinar onde a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal.
Resolvendo a equação quadrática:
Passo 5
Isso nos divide a linha dos números reais em três intervalos:
Vamos analisar cada intervalo separadamente.
Passo 6
Caso 1:
Neste intervalo, , então:
A desigualdade fica:
Vamos resolver as duas desigualdades separadamente.
Parte A:
As soluções são . Mas como estamos no caso , não há soluções aqui.
Parte B:
As soluções são ou . Dentro do intervalo , temos , então todas as soluções de satisfazem esta parte.
Conclusão do Caso 1: Não há soluções neste intervalo.
Passo 7
Caso 2:
Aqui, , então:
A desigualdade fica:
Vamos resolver as duas desigualdades separadamente.
Parte A:
As soluções são ou . Dentro do intervalo , isso se reduz a .
Parte B:
As soluções são . Dentro do intervalo , temos .
Conclusão do Caso 2: A interseção das soluções das Partes A e B é .
Passo 8
Caso 3:
Neste intervalo, , então:
A desigualdade fica:
Vamos resolver as duas desigualdades separadamente.
Parte A:
As soluções são . Mas como estamos no caso , a interseção é .
Parte B:
As soluções são ou . Dentro do intervalo , isso se reduz a .
Conclusão do Caso 3: A interseção das soluções das Partes A e B é .
Passo 9
Vamos juntar os resultados dos três casos:
Caso 1: Não há soluções.
Caso 2:.
Caso 3:.
Combinando os casos 2 e 3, temos:
Resposta
A pré-imagem é o conjunto de todos os números reais tais que: