Determine o conjunto imagem da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa descobrir qual é o conjunto imagem da função
. Isso significa que queremos saber todos os possíveis valores que
pode assumir quando a gente varia o
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre funções absolutas e como elas se comportam quando combinadas com funções lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a parte da função que tem o valor absoluto:
. O valor absoluto
sempre dá um resultado não negativo, ou seja,
para qualquer
. Portanto,
.
Passo 3
Vamos dividir a resolução em dois casos, dependendo do valor dentro do valor absoluto:
- Quando
: Isso acontece quando . - Quando
: Isso acontece quando .
Passo 4
Caso 1:
Nesse caso,
. Então nossa função fica:
Essa é uma função linear com inclinação positiva, o que significa que à medida que
aumenta,
também aumenta.
Passo 5
Caso 2:
Aqui,
. Então a função fica:
Essa também é uma função linear, mas com inclinação negativa, o que significa que à medida que
aumenta,
diminui nessa região.
Passo 6
Agora, vamos analisar cada caso para encontrar os valores mínimos e máximos de
:
- Para
: A função cresce sem limite à medida que aumenta, então não há um máximo, mas o valor mínimo ocorre em :
- Para
: A função diminui à medida que aumenta, então o valor máximo ocorre em (próximo a 3):
Passo 7
Observamos que em
, ambas as funções se encontram no ponto
. Para
,
pode ser maior que 2, mas nunca menor, já que o valor mínimo de
é 2 e cresce para valores maiores quando
se afasta de 3.
Passo 8
Portanto, combinando os dois casos, percebemos que o menor valor que
pode assumir é 2, e não há um limite superior para os valores de
. Assim, o conjunto imagem da função é todos os números reais maiores ou iguais a 2.
Resposta
O conjunto imagem da função
é
.