Determine o conjunto imagem da função f(x) = 2|x - 3| + x - 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa descobrir qual é o conjunto imagem da função . Isso significa que queremos saber todos os possíveis valores que pode assumir quando a gente varia o . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre funções absolutas e como elas se comportam quando combinadas com funções lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a parte da função que tem o valor absoluto: . O valor absoluto sempre dá um resultado não negativo, ou seja, para qualquer . Portanto, .

Passo 3

Vamos dividir a resolução em dois casos, dependendo do valor dentro do valor absoluto:
  1. Quando : Isso acontece quando .
  2. Quando : Isso acontece quando .

Passo 4

Caso 1:
Nesse caso, . Então nossa função fica:
Essa é uma função linear com inclinação positiva, o que significa que à medida que aumenta, também aumenta.

Passo 5

Caso 2:
Aqui, . Então a função fica:
Essa também é uma função linear, mas com inclinação negativa, o que significa que à medida que aumenta, diminui nessa região.

Passo 6

Agora, vamos analisar cada caso para encontrar os valores mínimos e máximos de :
  • Para : A função cresce sem limite à medida que aumenta, então não há um máximo, mas o valor mínimo ocorre em :
  • Para : A função diminui à medida que aumenta, então o valor máximo ocorre em (próximo a 3):

Passo 7

Observamos que em , ambas as funções se encontram no ponto . Para , pode ser maior que 2, mas nunca menor, já que o valor mínimo de é 2 e cresce para valores maiores quando se afasta de 3.

Passo 8

Portanto, combinando os dois casos, percebemos que o menor valor que pode assumir é 2, e não há um limite superior para os valores de . Assim, o conjunto imagem da função é todos os números reais maiores ou iguais a 2.

Resposta

O conjunto imagem da função é .

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