Una función de ganancias para un fabricante de herramientas viene dada por
donde
es el número de tuercas vendidas al mes (medido en miles) y representa el número de tornillos vendidos por mes (medido en miles). La ganancia se mide en miles de dólares. Dibuje un gráfico de esta función.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função de ganhos de uma fábrica de ferramentas:
Aqui,
é a quantidade de porcas vendidas por mês (em milhares),
é a quantidade de parafusos vendidos por mês (em milhares) e
representa o lucro em milhares de dólares. Nosso objetivo é desenhar o gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de duas variáveis e como elas se comportam graficamente.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a forma da função. A função é do tipo:
Isso se parece muito com a equação de um paraboloide, que é uma superfície tridimensional. No nosso caso, como os termos de
e
estão negativos, o paraboloide abre para baixo, tipo uma tigela de sorvete de cabeça para baixo.
Passo 3
Vamos identificar o vértice desse paraboloide, que é o ponto mais alto da superfície. Comparando com a forma geral da equação, sabemos que o vértice ocorre quando
e
. No nosso caso:
Então, o vértice está no ponto
. Isso significa que o lucro máximo ocorre quando são vendidas 3 mil porcas e 2 mil parafusos por mês.
Passo 4
Agora, vamos determinar até onde a função cruza o plano
, ou seja, onde
:
Essa equação representa um círculo com centro em
e raio
. Isso nos dá uma ideia dos limites da nossa superfície: além desse círculo no plano
, o lucro seria negativo, o que provavelmente não faz sentido no contexto.
Passo 5
Para desenhar o gráfico:
- Desenhe o plano
: plote os eixos e com a escala adequada. - Marque o vértice: coloque um ponto em
. - Desenhe o círculo de interseção: com centro em
e raio 4. - Esboce o paraboloide: desenhe uma superfície em forma de tigela de cabeça para baixo que tenha seu ponto mais alto no vértice e que toque o círculo no plano
.
Assim, você terá uma representação tridimensional que mostra como o lucro varia conforme as vendas de porcas e parafusos.
Resposta
O gráfico da função
é um paraboloide de concavidade para baixo com vértice no ponto
no plano
. Além disso, a interseção com o plano
forma um círculo de raio 4 centrado em
. Ao desenhar, você representa essa superfície tridimensional mostrando que o lucro máximo de 16 mil dólares ocorre quando são vendidas 3 mil porcas e 2 mil parafusos por mês.