Una función de ganancias para un fabricante de herramientas viene dada por
f(x, y) = 16 - (x - 3)^(2) - (y - 2)^(2)
donde x es el número de tuercas vendidas al mes (medido en miles) y representa el número de tornillos vendidos por mes (medido en miles). La ganancia se mide en miles de dólares. Dibuje un gráfico de esta función.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função de ganhos de uma fábrica de ferramentas:
Aqui, é a quantidade de porcas vendidas por mês (em milhares), é a quantidade de parafusos vendidos por mês (em milhares) e representa o lucro em milhares de dólares. Nosso objetivo é desenhar o gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de duas variáveis e como elas se comportam graficamente.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a forma da função. A função é do tipo:
Isso se parece muito com a equação de um paraboloide, que é uma superfície tridimensional. No nosso caso, como os termos de e estão negativos, o paraboloide abre para baixo, tipo uma tigela de sorvete de cabeça para baixo.

Passo 3

Vamos identificar o vértice desse paraboloide, que é o ponto mais alto da superfície. Comparando com a forma geral da equação, sabemos que o vértice ocorre quando e . No nosso caso:
Então, o vértice está no ponto . Isso significa que o lucro máximo ocorre quando são vendidas 3 mil porcas e 2 mil parafusos por mês.

Passo 4

Agora, vamos determinar até onde a função cruza o plano , ou seja, onde :
Essa equação representa um círculo com centro em e raio . Isso nos dá uma ideia dos limites da nossa superfície: além desse círculo no plano , o lucro seria negativo, o que provavelmente não faz sentido no contexto.

Passo 5

Para desenhar o gráfico:
  1. Desenhe o plano : plote os eixos e com a escala adequada.
  2. Marque o vértice: coloque um ponto em .
  3. Desenhe o círculo de interseção: com centro em e raio 4.
  4. Esboce o paraboloide: desenhe uma superfície em forma de tigela de cabeça para baixo que tenha seu ponto mais alto no vértice e que toque o círculo no plano .
Assim, você terá uma representação tridimensional que mostra como o lucro varia conforme as vendas de porcas e parafusos.

Resposta

O gráfico da função é um paraboloide de concavidade para baixo com vértice no ponto no plano . Além disso, a interseção com o plano forma um círculo de raio 4 centrado em . Ao desenhar, você representa essa superfície tridimensional mostrando que o lucro máximo de 16 mil dólares ocorre quando são vendidas 3 mil porcas e 2 mil parafusos por mês.

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