Hallar el dominio y el recorrido de las siguientes funciones: f(x, y) = log(x + 5y)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar o domínio e o recorrido da função . O domínio é o conjunto de todos os pares para os quais a função está bem definida, ou seja, onde dá para calcular o logaritmo. O recorrido é o conjunto de todos os possíveis valores que a função pode assumir.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no domínio. Sabemos que o logaritmo só está definido para números positivos. Então, o que está dentro do logaritmo precisa ser maior que zero:
Isso significa que a combinação de e precisa satisfazer essa inequação para que a função exista.

Passo 3

Agora, vamos resolver a inequação para encontrar quais pares pertencem ao domínio. Podemos reescrever a inequação isolando :
Isso mostra que para qualquer valor de , precisa ser maior que . Geometricamente, isso representa a região acima da reta no plano .

Passo 4

Agora, vamos determinar o recorrido da função. O logaritmo natural ( ) pode assumir qualquer valor real, desde que o seu argumento seja positivo. Ou seja, à medida que vai de zero a mais infinito, vai de a .

Resposta

Dominio: Todos os pares tais que .
Recorrido: Todos os números reais, ou seja, .

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