Hallar el dominio y el recorrido de las siguientes funciones:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar o domínio e o recorrido da função
. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está bem definida, ou seja, onde dá para calcular o logaritmo. O recorrido é o conjunto de todos os possíveis valores que a função pode assumir.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no domínio. Sabemos que o logaritmo só está definido para números positivos. Então, o que está dentro do logaritmo precisa ser maior que zero:
Isso significa que a combinação de
e
precisa satisfazer essa inequação para que a função exista.
Passo 3
Agora, vamos resolver a inequação
para encontrar quais pares
pertencem ao domínio. Podemos reescrever a inequação isolando
:
Isso mostra que para qualquer valor de
,
precisa ser maior que
. Geometricamente, isso representa a região acima da reta
no plano
.
Passo 4
Agora, vamos determinar o recorrido da função. O logaritmo natural (
) pode assumir qualquer valor real, desde que o seu argumento seja positivo. Ou seja, à medida que
vai de zero a mais infinito,
vai de
a
.
Resposta
Dominio: Todos os pares
tais que
.
Recorrido: Todos os números reais, ou seja,
.